Stile simile

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scambret
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Stile simile

Messaggio da scambret » 28 apr 2015, 08:15

Siano $ a,b,c,d $ reali positivi tali che $ 2(a+b+c+d) \geq abcd $

Allora $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq abcd $

AGallese
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Re: Stile simile

Messaggio da AGallese » 28 apr 2015, 15:26

Ho trovato una soluzione parecchio strana .-. quindi probabilmente sarà sbagliata.

Per Cauchy-Schwartz
\[ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq \frac{1}{4}\cdot (a+b+c+d)^2 \]
Per l'ipotesi
\[ \frac{1}{4}\cdot (a+b+c+d)^2 \geq \frac{(abcd)^2}{16} \]
Quindi, perché la tesi sia vera, devo avere
\[ \frac{(abcd)^2}{16} \geq abcd \quad\Leftrightarrow\quad abcd \geq 16 \]
D'altra parte, per AM-GM
\[ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 4 \sqrt{abcd} \]
da cui perchè le tesi sia vera dovrei avere
\[ 4 \sqrt{abcd} \geq abcd \quad\Leftrightarrow\quad 16 \geq abcd \]

Una delle due condizioni è necessariamente soddisfatta, quindi, per una ragione o per l'altra, la tesi deve essere vera!

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