Funzionale con due variabili

[nuoveolimpiadi1999]

Trovare tutte le funzioni f : R → R di variabile reale con valori reali tali che
(x − 2)f(y) + f(y + 2f(x)) = f(x + yf(x))
per tutti gli x, y ∈ R.

Esporre procedimento il più rigoroso e chiaro possibile grazie.

[6frusciante9]

Mh , sono arrivato ad una soluzione parziale .. Ma da dove viene ?

[nuoveolimpiadi1999]

Non lo so di preciso perchè me l'hanno passata

[Nemo]

Ci provo...

L'equazione data è:
$$ (x − 2)f(y) + f(y + 2f(x)) = f(x + yf(x)) \quad \forall x,y \in \mathbb{R} \qquad \qquad (1) $$
Ponendo $y=0$ si ottiene:
$$f(2f(x))=f(x)-(x-2)f(0) \qquad \qquad (2)$$
Ponendo $x=0$ nella $(1)$ e riscrivendo poi in $x$ si ottiene:
$$f(x+2f(0))=2f(x)+f(f(0)x) \qquad \qquad (3)$$
$f(0)=1 \Rightarrow f(x+2)=3f(x)$, sostituendo nella $(3)$. $f(2n)=3^n \Rightarrow f(2n+2)=3f(2n)=3^{n+1} \quad \forall n\geq 0 \in \mathbb{N}$ e questo significa che, per induzione, $f(2n)=3^n \quad \forall n\geq 0 \in \mathbb{N}$. Ma, ponendo $x=2$ e $y=4$ nella $(1)$ si ottiene che $f(4+2 \cdot 3) = f(2+4 \cdot 3) \Rightarrow f(10)=f(14)=3f(12)=9f(10)$, il che è assurdo. Quindi $f(0) \neq 1$.

È così possibile porre $x=\frac{2 f(0)}{f(0)-1}$ nella $(3)$, per cui $ f \left( \frac{2 f(0)}{f(0)-1}-2f(0)\right)=2f\left( \frac{2 f(0)}{f(0)-1} \right)+f\left( \frac{2 f(0)}{f(0)-1} \cdot f(0) \right) \Rightarrow f\left(\frac{2 f(0)}{f(0)-1}\right)=0$.

Ponendo $x=\frac{2 f(0)}{f(0)-1}$ nella $(1)$ si ottiene $ (\frac{2 f(0)}{f(0)-1} − 2)f(y) + f(y) = 0 $, da cui $f(y)=0 \, \vee \, \frac{2 f(0)}{f(0)-1}=1$. Si verifica immediatamente che $f(x)=0$ è soluzione dell'equazione, sostituendo nella $(1)$.

Se $\frac{2 f(0)}{f(0)-1}=1$, allora $f(0)=-1$ e $f(1)=0$. Dunque, ponendo $y=1$ nella $(1)$, si ottiene:
$$f(1+2f(x))=f(x+f(x)) \qquad \qquad (4)$$
Se $f$ fosse non-iniettiva, allora dovrebbero esistere due numeri reali $a \neq b$ tali che $f(a)=f(b)$; per la $(2)$ si dovrebbe avere $f(2f(a))=f(2f(b)) \Rightarrow f(a)+a-2=f(b)+b-2 \Rightarrow a=b $, il che è assurdo. Di conseguenza $f$ è iniettiva e quindi la $(4)$ è verificata sse $1+2f(x)=x+f(x) \Rightarrow f(x)=x-1$.
Sostituendo nella $(1)$ si verifica che $f(x)=x-1$ è effettivamente soluzione dell'equazione.

Ricapitolando, le uniche soluzioni dell'equazione $(1)$ sono: $f(x)=0$ e $f(x)=x-1$

[Nemo]

@nuoveolimpiadi1999. Non sono sicuro... Aspetta che qualcuno più esperto controlli!