98. Funzionale facile

[Talete]

Boh, il meglio che trovo: sia data una funzione $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Dimostrare che, se

\[f(x+24)\le f(x)+24;\hspace{1cm}f(x+77)\ge f(x)+77;\]

allora $f(x+1)=f(x)+1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.

[Lasker]

Osservo innanzitutto che $\textrm{lcm }(24,77)=24\cdot 77=1848$, e considero dunque $f(x+1848)$ per vedere se vengono cose belle

$$f(x+1848)\leq f(x+1824)+24\leq \left(f(x+1800)+24\right)+24\leq...\leq f(x)+1848$$
Ma anche
$$f(x+1848)\geq f(x+1771)+77\geq \left(f(x+1694)+77\right)+77\geq...\geq f(x)+1848$$
Da cui
$$f(x+1848)=f(x)+1848\ \ \forall\ x\in\mathbb{R}$$
Ma allora tutte le disuguaglianze delle due catene sono in realtà uguaglianze, ed in particolare si hanno (guardando le ultime disuguaglianze di ogni catena)
$$f(x+24)=f(x)+24\ \ \ \ \ \textrm{e}\ \ \ \ \ \ f(x+77)=f(x)+77$$
Dunque ci basta considerare
$$f(x+3312)=f(x+138\cdot24)=f(x+137\cdot24)+24=...=f(x)+138\cdot 24=f(x)+3312$$
e
$$f(x+3311)=f(x+43\cdot 77)=f(x+42\cdot 77)+77=...=f(x)+43\cdot 77=f(x)+3311$$
Sostituendo la seconda nella prima ottengo
$$f(x+3312)=f(x+3311)+1 \ \ \forall \ x\in\mathbb{R}$$
E quindi ovviamente anche
$$f(x+1)=f(x)+1\ \ \forall\ x\in\mathbb{R}$$

Chiarimento: i valori "magici" sono stati trovati applicando Bezout e risolvendo l'equazione diofantea lineare $24a-77b=1$ (che ha soluzione in quanto $77$ e $24$ sono coprimi)

[Talete]

Ok, tutto giusto Puoi andare!