La centesima disuguaglianza
- 6frusciante9
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La centesima disuguaglianza
Siano $ a,b,c $ i lati di un triangolo . Dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{b+c-a} \ge {3} $
Viene dall'Engel
$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{b+c-a} \ge {3} $
Viene dall'Engel
Chi lotta con i mostri deve star attento a non diventare un mostro. E se guarderai a lungo un abisso, l'abisso finirà per guardare in te
Re: La centesima disuguaglianza
(le somme sono tutte cicliche)
Moltiplico numeratore e denominatore per $a$:
\[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\]
Uso il lemma di Titu e ottengo:
\[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\]
Ora mi basta dimostrare che
\[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6\sum ab-3\sum a^2.\]
Cioè che:
\[4\sum a^2\ge 4\sum ab,\]
che è vero per bunching. Vabbè ma queste disuguaglianze si fanno tutte con Titu+bunching, diventano noiose
Moltiplico numeratore e denominatore per $a$:
\[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\]
Uso il lemma di Titu e ottengo:
\[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\]
Ora mi basta dimostrare che
\[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6\sum ab-3\sum a^2.\]
Cioè che:
\[4\sum a^2\ge 4\sum ab,\]
che è vero per bunching. Vabbè ma queste disuguaglianze si fanno tutte con Titu+bunching, diventano noiose
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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- 6frusciante9
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Re: La centesima disuguaglianza
Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie
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Re: La centesima disuguaglianza
Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
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Re: La centesima disuguaglianza
In effetti lo ho pensato anche io , ma la stima nei confronti dei forumisti mi ha spinto a dire che fosse giusta .... Ad esempio io avevo posto $ a=x+y ,\ b=y+z, \ c=x+z $ con $ x,y,z>0 $
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Re: La centesima disuguaglianza
Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
P.S.:
Credo che la scheda A15 delle schede olimpiche spieghi abbastanza, altrimenti un qualsiasi video di A2 del medium del senior, credo6frusciante9 ha scritto:Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie
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Re: La centesima disuguaglianza
Comunque la tua ultima disuguaglianza ( se non ho fatto confusione con la notazione ) non dovrebbe essere vera anche per riarrangiamento ???
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Re: La centesima disuguaglianza
Sì, si fa anche per riarrangiamento. È vera anche per AM-GM, o per somma di quadrati; ma questo non nega che bunching sia più bello.
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Re: La centesima disuguaglianza
Beh il riarrangiamento non fa neanche uso dell'ipotesi $ a,b,c>0 $ ...
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Re: La centesima disuguaglianza
No, da qualche parte stai usando che sono i lati di un triangolo... ad esempio, la terna $(1,1,3) $ non va bene nella disuguaglianza, ma tu sembri dimostrare che vale per tutte...Talete ha scritto:Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
prova a riguardare passaggio per passaggio che ipotesi ti servono per "applicare" certe disuguaglianze
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: La centesima disuguaglianza
Ah, sì, giusto! Usando Titu, devo dire che $ab+ac-a^2$ e cicliche sono maggiori di $0$, poiché se fosse $ab+ac-a^2\le0$, non potrei applicare Titu: infatti è Cauchy-Schwarz sulle $3$-uple $\{a^2/\sqrt{ab+ac-a^2}\}$ e $\{\sqrt{ab+ac-a^2}\}$, ma se $ab+ac-a^2\le0$, la sua radice non sta in $\mathbb{R}$ e quindi non posso usare Cauchy-Schwarz su numeri in $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$! Grazie
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Re: La centesima disuguaglianza
Esatto, lo usi lì. Ma devi dirlo. Se prendi la tua dimostrazione e ci aggiungi "I denominatori sono positivi per l'ipotesi che a,b,c sono i lati di un triangolo, quindi possiamo usare Titu" va bene.Talete ha scritto:Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
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Re: La centesima disuguaglianza
Ah, ok! Grazie mille!
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Re: La centesima disuguaglianza
Si potrebbe fare anche senza Titu e bunching: con la classica sostituzione $ a=x+y $ e cicliche, ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a}{b+c-a}=\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq3\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq6$$
che (come quella originale, in realtà) è omogenea, quindi wlog $ x+y+z=1 $. Sostituisco e ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1-z}{z}\geq6\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1}{z}\geq9$$
che è vera per AM-HM su $ (x,y,z) $.
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a}{b+c-a}=\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq3\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq6$$
che (come quella originale, in realtà) è omogenea, quindi wlog $ x+y+z=1 $. Sostituisco e ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1-z}{z}\geq6\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1}{z}\geq9$$
che è vera per AM-HM su $ (x,y,z) $.
Re: La centesima disuguaglianza
Sì, ok, è vero anche questo Però quando sei a:
\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]
Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi
\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]
Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi
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