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Siano $ x $ e $ y $ due numeri razionali, dimostrare che

$ {x^2+2y^2 \over 2x^2+y^2} $ è un quadrato perfetto in $ \mathbb{Q} $ se e solo se $ x= \pm y $

Fonte: AoPS

(Ho tolto lo $0$ dalle ipotesi perché sembra poco vero ).

Restringiamo un po' le ipotesi, da $\mathbb{Q}/\{0\}$ a $\mathbb{N}/\{0\}$. Difatti, consideriamo $x=m/n$ e $n=p/q$, e ci rimane da dimostrare la tesi con $x\mapsto mq$ e $y\mapsto pn$. Quindi, se dimostriamo la tesi per $x,y\in\mathbb{Z}/\{0\}$ abbiamo dimostrato anche per $x,y\in\mathbb{Q}/\{0\}$. Inoltre, siccome $x$ e $y$ sono presenti solo come quadrati, possiamo supporli positivi e restringere il campo a $\mathbb{N}/\{0\}$.

Ora, sostituendo $x\mapsto a$, $y\mapsto a$, si vede che un verso della freccia del se e solo se è dimostrato. Infatti in questo caso si ha che
\[\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{3a^2}{3a^2}=1,\]
che è un quadrato perfetto.

Ora, suppongo $x\mapsto a$ e $y\mapsto a+b$, con $b\ge0$. Allora so che
\[\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{3a^2+2b^2+4ab}{3a^2+b^2+2ab}\]
dev'essere un quadrato perfetto, supponiamo $t^2$. Allora
\[3a^2+2b^2+4ab=3a^2t^2+b^2t^2+2abt^2 \Rightarrow 3a^2(1-t^2)=(t^2-2)(2a+b)b.\]
Ora, se si avesse che $t\neq 1$, $LHS$ sarebbe negativo e $RHS$ negativo, il che è piuttosto falso.
Quindi si deve avere $t=1$, dunque si deve avere che $a=-b/2$, che è falso perché abbiamo supposto $a$ e $b$ positivi, oppure che $b=0$: quindi che $x=y$ e abbiamo dimostrato l'altro verso della freccia.

È giusta?

P.S.: era parecchio TdN, il problema

Piccola correzione tipografica... si scrive $\mathbb{Q} \setminus \{0\}$ (la barra va nell'altro verso).

Ho qualche perplessità sulla soluzione di Talete: innanzitutto non mi è chiaro perché puoi supporre $y \geq x$ (che è quello che fai scrivendo $y=a+b$ con $b \geq 0$... dovresti perlomeno trattare anche il caso $y \leq x$). Inoltre il testo dice che quel rapporto è il quadrato di un numero razionale, non di un intero, quindi mi pare che nessuno ti dica che $t \neq 1$ implica $t \geq 2$, cosa che però stai usando: per esempio, se $t=1+1/100$, allora $1-t^2$ è negativo e $t^2-2$ anche!

Ho dimenticato il caso $y\le x$... ero di fretta e me lo sono scordato.
Scusate. Però, per l'altra perplessità, prima ho "ristretto il campo" dicendo che se era vero per gli interi, era vero anche per i razionali!

P.S. grazie fph per la correzione!

Quello che ti dice Darkcrystal è che tu hai detto che se era vero per $ x $ e $ y $ interi allora era vero anche per $ x $ e $ y $ razionali, ma questo non vuol dire che lo stesso ragionamento è valido per il rapporto in questione

Aspetta, non capisco. Io dico questo: supponiamo che ci siano $x$ e $y$ in $\mathbb{Q}^+$ tali che il rapporto in questione è un quadrato perfetto, e che $x\neq y$. Allora, scrivendo $x=m/n$ e $y=p/q$ devo avere che $mq$ e $np$ rispettano il fatto che il rapporto
\[\frac{(mq)^2+2(np)^2}{2(mq)^2+(np)^2}\] è un quadrato perfetto, ma per quello che ho dimostrato io sugli interi si deve avere $mq=np \Rightarrow m/n=p/q$, che nega la tesi. Dove sbaglio?

Poni ad esempio che $ t^2 = {9 \over 16} $ , allora LHS e RHS sono concordi

Allora, quello che hai fatto è solo $\displaystyle\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}=\frac{(m/n)^2+2(p/q)^2}{2(m/n)^2+(p/q)^2}=\frac{(mq)^2+2(pn)^2}{2(mq)^2+(pn)^2}$ ovvero ci si è limitati a cercare $x,y\in\mathbb N$; tuttavia noi sappiamo solo che il rapporto è il quadrato di un razionale, come ad esempio $\frac4{25}=\left(\frac2 5\right)^2$
La tua equazione, con $t=m/n$, diventa $3a^2(n^2-m^2)=(m^2-2n^2)(2a+b)b$ e hai solo $n^2\le m^2\le2n^2$

P.S: non l'ho provato, quindi non saprei dire nulla di più xD

Ah, ok, grazie mille, e scusate... avevo capito male la consegna... quindi il rapporto può essere il quadrato di un qualsiasi razionale? Si mette male, allora...

Dunque, dovrei fare una roba del genere:
\[(x^2+2y^2)s^2=(2x^2+y^2)t^2 \Rightarrow x^2(s^2-2t^2)=y^2(t^2-2s^2)\]
con $x,y,t,s \in \mathbb{N}^+$ e dimostrare che $x=y$.

Quindi, ora consideriamo il tutto modulo $x$, e poi modulo $y$. I casi sono tre:

(1) $x\mid y$ e $y\mid x$. Sembra ovvio che $x=y$.

(2) $x\mid (t^2-2s^2)$ e $y\mid (s^2-2t^2)$. Scrivo $s^2=ay+2t^2$ e guardo modulo $x$. Si deve avere $3t^2+2ay\equiv0$, quindi scrivo $t^2=(bx-2ay)/3$ e $s^2=(2bx-ay)/3$. Quindi la tesi è:
\[x^2(bx+ay)=y^2(-bx-ay),\]
che per semplificazione diventa $x^2+y^2=0$, che è impossibile.

(3) $x\mid y$ e $y\mid (s^2-2t^2)$ oppure $x\mid (t^2-2s^2)$ e $y\mid x$ (sono equivalenti). Ecco, qui ci ho provato ma la soluzione mi viene lunghissima... qualcuno ne ha una più breve?