Disfida 2014

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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mpxavi96
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Disfida 2014

Messaggio da mpxavi96 » 05 mar 2015, 21:00

Sia $ f $ una funzione definita sugli interi (anche negativi) tale che, comunque si scelgano gli interi $ x,y $ valga la relazione
$ f(x^2+y)=2f(x)^2-f(y)^2-2yf(x) $
Qual è il massimo valore che può assumere la parte intera di $ |f(2014)| $?

erFuricksen
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Re: Disfida 2014

Messaggio da erFuricksen » 06 mar 2015, 21:42

La funzione può essere definita $ \mathbb{Z} \to \mathbb{C} $ ?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

mpxavi96
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Re: Disfida 2014

Messaggio da mpxavi96 » 10 mar 2015, 18:04

Non capisco a cosa tu voglia arrivare... :oops:

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karlosson_sul_tetto
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Re: Disfida 2014

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 10 mar 2015, 18:09

Dopo un po' di passaggi, si ottiene una cosa del genere (sto andando un pochino a memoria quindi forse non è del tutto giusto):
Testo nascosto:
$f(x)^2+f(x)+2x=0\to f(x)=\frac{-1\pm\sqrt{1-8x}}{2}$ che vale per ogni $x$. Quindi mettendoci $x=100000$, viene un numero negativo sotto la radice, quindi la funzione dovrebbe dare un numero complesso...
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mpxavi96
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Re: Disfida 2014

Messaggio da mpxavi96 » 10 mar 2015, 18:46

Dunque si vuole arrivare a dire che tale funzione se esiste, assume in 2014 un valore complesso? E il problema è dato dal fatto che la parte intera si calcola su numeri reali ma non complessi?

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karlosson_sul_tetto
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Re: Disfida 2014

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 10 mar 2015, 19:02

mpxavi96 ha scritto:Dunque si vuole arrivare a dire che tale funzione se esiste, assume in 2014 un valore complesso? E il problema è dato dal fatto che la parte intera si calcola su numeri reali ma non complessi?
1) Si 2)Visto che c'è $|f(2014)|$, si ottiene un numero reale positivo, del quale non è vietato prendere la parte intera :) (non so se ci sia una definizione di parte intera anche per numeri complessi...)
Il dubbio che mi è sorto e ritengo sia sorto anche a erFuricksen è causato dal fatto che è raro vedere funzioni che hanno come insieme d'arrivo $\mathbb{C}$, soprattutto in una gara a squadre e senza che sia specificato nel testo.
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Re: Disfida 2014

Messaggio da erFuricksen » 10 mar 2015, 19:49

In realtà io temevo che esistesse una qualche definizione di parte intera dei numeri complessi che io ignorassi completamente; la domanda mi è venuta spontanea nel momento in cui sono pervenuto alla stessa funzione a cui è arrivato Karlosson
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Gi8
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Messaggio da Gi8 » 10 mar 2015, 22:12

per ogni $x,y$ interi vale $ f(x^2+y)=2f(x)^2-f(y)^2-2yf(x) $

$x=y=0 \implies f(0)=f(0)^2$ da cui $f(0)=0$ oppure $f(0)=1$

Se $f(0)=0$, l'unica possibilità è $f(x)=0$ per ogni $x \in \mathbb{Z}$
Testo nascosto:
con $x=0$ si ha $f(y)= -f(y)^2$, cioè $f(y) \in \{0, -1 \}$ per ogni $y \in \mathbb{Z}$.
Inoltre con $y=0$ abbiamo $f(x^2)= 2f(x)^2$. Perciò se esistesse $a \in \mathbb{Z}$ tale che $f(a) = -1$,
si avrebbe $f(a^2)= 2f(a)^2= 2 \cdot 1=2$. Quindi necessariamente $f(x)=0$ per ogni $x$ intero.
Se $f(0)=1$ non ci sono soluzioni
Testo nascosto:
con $y=0$ e $x=1$ si ha $f(1)=2f(1)^2-1 \implies f(1)=1 \vee f(1)= -\frac{1}{2}$
con $x=0$ e $y=1$ si ha $f(1)= -f(1)^2 \implies f(1)=0 \vee f(1)= -1$

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