Cesenatico 2012 Quesito 14 (Finale)

[dido174]

Allora, dopo il primo uso del kartesioken avrò un polinomio che per le formule di Viete ha come nuovo $m$ lo stesso di prima , perché $a-1+b+1=a+b=m$ e come nuovo $n$ avrà $(a-1)(b+1)$. Ora, io faccio questa cosa 60 volte, mi si chiede qual è l'$n$ del 60-esimo polinomio, ossia $(a-60)(b+60)$.

Le variabili non possono "scambiarsi", ossia se le radici di un polinomio sono $a$ e $b$ con $a>b$, quelle del successivo saranno $(a-1)$ e $(b+1)$ con $(a-1) > (b+1)$ (al massimo possono essere uguali al 60-esimo polinomio). Infatti se avessi $a>b$ e $a-1 \leq b+1$ ci sarebbero queste possibilità:
- $a=b+2$, da cui ottengo poi le radici $b+1$ e $b+1$, da cui riottengo le radici $b+2$ e $b$
- $a = b+1$, da cui ottengo le radici $b$ e $b+1$.
In entrambi casi entro in un loop e quindi: o all'interno del loop l'aura non va over nine thousand, e quindi la situazione contraddice le ipotesi, o ci va, ma in tal caso o la prima ripetizione di questo loop avviene prima del 60-esimo minuto, contraddicendo l'ipotesi che dopo un'ora l'aura abbia appena superato 9000, o avviene dopo e quindi, riosservando la casistica presente sopra, visto che i loop possono durare solo 1 o 2 turni, l'unica possibilità è che $(a-60)=(b+60)$.

Dunque $(a-60) \geq (b+60)$, chiamo $x$ la prima quantità e $y$ la seconda. Per minimizzare $m$ mi servono $x$ e $y$ più vicini possibile (AM-GM) quindi estraggo la radice di 9000 che è $\sqrt{9000} = \sqrt{900} \cdot \sqrt{10} \approx 30 \cdot 3.16 \approx 94.8 $. Ora $95 \cdot 94 < 9000$ e $95 \cdot 95 > 9000$, quindi il minimo $m$ sarebbe $95+95=190$. Ma se così fosse otterrei la situazione $100 \cdot 90 = 9000$ che contraddice l'ipotesi che 9000 non sia mai eguagliato, allora prendo $m=191$.

Devo quindi trovare $x,y$ t.c $xy > 9000$ , $(x+1)(y-1) < 9000$, $x+y=191$. Per trovarli la cosa più semplice e abbastanza rapida è andare per dicotomia: osservo che $100 \cdot 91 = 9100$ e $110 \cdot 81 = 8910$, quindi $101 \leq x \leq 109$, infine ottengo $x=106, \; y= 85$. Allora la mia $a$ iniziale sarà $106+60=166$ e la $b= 85-60=25$

L'aura iniziale vale dunque $166 \cdot 25 = 4150$