97. La solita più grande costante tale che...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Delfad0r
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97. La solita più grande costante tale che...

Messaggio da Delfad0r »

Determinare la più grande costante $C(n)$ tale che, per ogni $(n>1)$-upla di reali positivi $(a_1,\ldots,a_n)$ con $a_1+\ldots+a_n=n$, valga
$$
\sum_{\text{cyc}}\frac{a_1^3}{a_2^3+8}\ge\frac{1}{27}\sum_{i\neq j}a_ia_j+C(n)
$$

PS:
$$
\sum_{i\neq j}a_ia_j=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}
\begin{cases}
a_ia_j\qquad &\text{se }i\neq j\\ \\
0&\text{se }i=j
\end{cases}
$$
Ultima modifica di Delfad0r il 08 apr 2015, 22:12, modificato 1 volta in totale.
Talete
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...

Messaggio da Talete »

Posso chiedere (a nome di tutti, credo) un piccolo hint ;) ?
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Delfad0r
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...

Messaggio da Delfad0r »

Mmh sì, in effetti è passato un po' tanto tempo.
Inizierò a mettere hint sempre più corposi distanziati nel tempo.
Cominciamo con una cosa abbastanza banale.

Hint 1
Testo nascosto:
Se metto $a_1=\ldots=a_n=1$ cosa ottengo? Sarà mica quello il valore giusto di $C(n)$?
PS: ho aggiunto nell'OP una chiarificazione sul significato di $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ in caso la notazione risultasse incomprensibile.
Talete
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...

Messaggio da Talete »

Boh, non ho capito se la somma $\sum_{i\neq j} a_ia_j$ conti ogni singolo $a_ka_h$ una volta sola oppure due volte (come $a_ka_h$ e come $a_ha_k$). Detto questo, e supposta la seconda ipotesi (cioè che viene contato due volte), credo di aver trovato la migliore costante, che tra l'altro è $C(n)$ quando si pone tutto $=1$.
Testo nascosto:
Dimostriamo che la migliore costante è:
\[C(n)=\frac{4n-n^2}{27}.\]
Possiamo provare ponendo tutti gli $a_i$ uguali a $1$ che $C(n)\le\frac{4n-n^2}{27}$ (basta sostituire). Ora prima di dimostrare che tale costante va bene, dimostriamo un lemma:

Lemma. (Tri-Titu) Date tre $n$-uple di reali $\{x_i\},\{y_i\},\{z_i\}$, si ha che:
\[\sum_{i=1}^n \frac{x_1^3}{y_1z_1}\ge \frac{(\sum_{i=1}^n x_i)^3}{(\sum_{i=1}^n y_i)(\sum_{i=1}^n z_i)}.\]
Questo si dimostra con Cauchy-Schwarz a tre sulle $n$-uple $\{x_i/\sqrt[3]{y_iz_i}\}$, $\{\sqrt[3]{y_i}\}$, $\{\sqrt[3]{z_i}\}$.

[_] (non so fare il quadratino di fine lemma). :)

Ora inizia la vera e propria dimostrazione: non ho messo i pedici alle sommatorie perché vanno tutte da $1$ ad $n$.

Ora, applico Tri-Titu alle $n$-uple $\{a_i\}$, $\{a_{i+1}+2\}$ e $\{a_{i+1}^2-2a_{i+1}+4\}$ ottenendo:

\[LHS \ge \frac{(\sum a_i)^3}{(2n+\sum a_i)(\sum a_i^2 -2\sum a_i+4n)}.\]

Ricordando che $\sum a_i=n$, ottengo:

\[LHS \ge \frac{n^2}{3(\sum a_i^2+2n)}.\]

Ora, ricordo che la somma degli $a_ia_j$ è uguale a $(\sum a_i)^2-\sum a_i^2=n^2-\sum a_i^2$; quindi riscrivo l'$LHS$ e ottengo:

\[LHS=\frac{n^2-\sum a_i^2}{27}+\frac{4n-n^2}{27}=\frac{4n-\sum a_i^2}{27}.\]

Bene, ora mi basta da dimostrare che:

\[\frac{n^2}{\sum a_i^2+2n}\ge\frac{4n-\sum a_i^2}{9} \Rightarrow 9n^2\ge (4n-\sum a_i^2)(\sum a_i^2+2n).\]

Svolgo il prodotto a destra e ottengo:

\[9n^2\ge 4n\sum a_i^2 + 8n^2-(\sum a_i^2)^2-2n\sum a_i^2 \Rightarrow n^2+(\sum a_i^2)^2\ge 2n\sum a_i^2.\]

Ora, chiamando $z:=\sum a_i^2$, quest'ultima disuguaglianza si riduce a:

\[n^2+z^2\ge 2nz,\]

che è vero per una cosa a caso (AM-GM, QM-GM, Cauchy-Schwarz, bunching, riarrangiamento, sum of squares, etc).

Boh, a me è venuta così.
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Delfad0r
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...

Messaggio da Delfad0r »

Direi che va bene (a parte la strana tendenza a chiamare $LHS$ qualsiasi cosa) :D
Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte.
Talete
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...

Messaggio da Talete »

Delfad0r ha scritto:Direi che va bene (a parte la strana tendenza a chiamare $LHS$ qualsiasi cosa) :D
Lol! Non me n'ero accorto! ;) ;) ;)
Delfad03r ha scritto:Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte.
Sì, ho visto dopo :) Grazie. Posterò il prossimo problema in poco tempo ;)
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