Determinare la più grande costante $C(n)$ tale che, per ogni $(n>1)$-upla di reali positivi $(a_1,\ldots,a_n)$ con $a_1+\ldots+a_n=n$, valga
$$
\sum_{\text{cyc}}\frac{a_1^3}{a_2^3+8}\ge\frac{1}{27}\sum_{i\neq j}a_ia_j+C(n)
$$
PS:
$$
\sum_{i\neq j}a_ia_j=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}
\begin{cases}
a_ia_j\qquad &\text{se }i\neq j\\ \\
0&\text{se }i=j
\end{cases}
$$
97. La solita più grande costante tale che...
97. La solita più grande costante tale che...
Ultima modifica di Delfad0r il 08 apr 2015, 22:12, modificato 1 volta in totale.
Re: 97. La solita più grande costante tale che...
Posso chiedere (a nome di tutti, credo) un piccolo hint ?
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
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"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Re: 97. La solita più grande costante tale che...
Mmh sì, in effetti è passato un po' tanto tempo.
Inizierò a mettere hint sempre più corposi distanziati nel tempo.
Cominciamo con una cosa abbastanza banale.
Hint 1
PS: ho aggiunto nell'OP una chiarificazione sul significato di $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ in caso la notazione risultasse incomprensibile.
Inizierò a mettere hint sempre più corposi distanziati nel tempo.
Cominciamo con una cosa abbastanza banale.
Hint 1
Testo nascosto:
Re: 97. La solita più grande costante tale che...
Boh, non ho capito se la somma $\sum_{i\neq j} a_ia_j$ conti ogni singolo $a_ka_h$ una volta sola oppure due volte (come $a_ka_h$ e come $a_ha_k$). Detto questo, e supposta la seconda ipotesi (cioè che viene contato due volte), credo di aver trovato la migliore costante, che tra l'altro è $C(n)$ quando si pone tutto $=1$.
Testo nascosto:
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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Re: 97. La solita più grande costante tale che...
Direi che va bene (a parte la strana tendenza a chiamare $LHS$ qualsiasi cosa)
Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte.
Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte.
Re: 97. La solita più grande costante tale che...
Lol! Non me n'ero accorto!Delfad0r ha scritto:Direi che va bene (a parte la strana tendenza a chiamare $LHS$ qualsiasi cosa)
Sì, ho visto dopo Grazie. Posterò il prossimo problema in poco tempoDelfad03r ha scritto:Comunque se guardi avevo aggiunto al primo post un chiarimento sul fatto che $\sum_{i\neq j}a_ia_j$ contasse i prodotti due volte.
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