(Parallelepipedo) rettangolo amico!!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Lasker
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(Parallelepipedo) rettangolo amico!!

Messaggio da Lasker » 16 nov 2014, 19:27

Il probema rettangoli amici!! postato in TDN da simone256 mi ha riportato alla mente questo problemino simpatico che ho fatto quest'estate.

Diciamo che un parallelepipedo rettangolo è nostro amico!! se il suo volume, la sua superficie e il suo perimetro (ovvero la somma delle lunghezze dei $12$ spigoli) sono numericamente uguali (per prevenire le giuste proteste di qualcuno, calcoliamo le lunghezze in drachi, le superfici in cottingeri e i volumi in dracottingeri, tutte unità di misura che sottolineano la manifestazione della stessa malvagità e sono quindi confrontabili). Dimostrare che nessuno parallelepipedo è veramente nostro amico!!.

NB: attenzione che siamo in Algebra, quindi a differenza del problema a cui questo si ispira, il valore che misuriamo per lunghezze, superfici o volumi non è necessariamente intero, ma può essere un qualsiasi reale positivo.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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Re: (Parallelepipedo) rettangolo amico!!

Messaggio da LucaMac » 17 nov 2014, 17:03

$abc=2(ab+bc+ac)=4(a+b+c)$
WLOG $a \geq b \geq c$ quindi $bc \leq 12$ e $c \leq 6$ e $ab \geq 12$ e $a \geq 6$.
Moltiplicando prima e quarta si ha $bc \leq 2a$ , invece da seconda e terza $ab \geq 2c$
Ora, visto che $ ab+bc+ac=2(a+b+c)$ (e $ab \geq 2c $) si ha che $ c \leq 2$ quindi, visto che $abc=2(ab+bc+ac)$ si ha $bc+ac \leq 0$ che è assurdo!

p.s. sei sicuro le unità di misura siano confrontabili? :lol:
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Lasker
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Re: (Parallelepipedo) rettangolo amico!!

Messaggio da Lasker » 18 nov 2014, 21:46

Bene :D

(al P.S. rispondo con un categorico "certo che sì!")
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