Disuguaglianza coi moduli

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Hawk
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Disuguaglianza coi moduli

Messaggio da Hawk » 15 nov 2014, 18:10

Siano $ a,b,p \in \mathbb {R} $, con $ p\geq 1 $, allora vale:

$ |a+b|^p\leq 2^{p-1} (|a|^p+|b|^p) $
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Delfad0r
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Re: Disuguaglianza coi moduli

Messaggio da Delfad0r » 15 nov 2014, 20:01

Sia $f(x)=|x|^p$; $f=g\circ h$, dove $h(x)=|x|$ e $g(x)=x^p$. $h$ e $g$ sono convesse, e in più $g$ è non decrescente per $p\ge 1$, pertanto anche $f$ è convessa.
Applicando la disuguaglianza di convessità a $f$, la tesi segue immediatamente:
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le\frac{1}{2}(f(a)+f(b)) \implies \left(\frac{|a+b|}{2}\right)^p\le \frac{1}{2}(|a|^p+|b|^p) \implies |a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)
$$

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