Determinare tutte le funzioni $ f : \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+ $ tali che $ \forall x,y \in \mathbb{Q}^+ $ si ha
\begin{equation}
f([f(x)]^2 y) = x^3 f(xy)
\end{equation}
funzione nei razionali positivi
funzione nei razionali positivi
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"
Re: funzione nei razionali positivi
Vogliamo trovare tutte le funzioni da $\mathbb{Q}^+$ in sé tali che:
$$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)\ \ \ \ \ \ (1)$$
Osservazione 1. Tutte le funzioni che verificano sono iniettive.
Dim. Supponiamo per assurdo che esistano due razionali distinti $x_1$ e $x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)=c$. Chiaramente, confrontando i rispettivi LHS di $P(x_1,1)$ e $P(x_2,1)$ si ha:
$$f(f(x_1)^2)=f(c^2)=f(f(x_2)^2)$$
Dunque anche i RHS dovranno essere uguali fra loro, ovvero
$$x_1^3f(x_1)=x_2^3f(x_2)\ \ \Rightarrow \ \ x_1^3=x_2^3\ \ \Rightarrow\ \ x_1=x_2\ \ \ \textrm {Assurdo!}$$
Osservazione 2. Dividendo entrambi i membri dell'equazione $(1)$ per $x^3$ (diverso da $0$ perché è razionale positivo), si simmetrizza il RHS, da cui
$$\frac{f(f(x)^2y)}{x^3}=f(xy)=f(yx)=\frac{f(f(y)^2x)}{y^3}\ \ \ \forall\ \ x,y\in\mathbb{Q}^+\ \ \ \ (2)$$
Magheggiando un po' con le relazioni $(1)$ e $(2)$...
$$f(f(x)^2y)=\frac{x^3}{y^3}f(f(y)^2x)=\left(\frac{x}{y}\right)^3f\left(\frac{x}{y}\cdot yf(y)^2\right)=f\left(f\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot yf(y)^2\right)\ \ \forall \ x,y\in\mathbb{Q}^+$$
Sfruttiamo l'iniettività della funzione per rendere più decente la relazione trovata fra gli estremi LHS e RHS, semplificando tranquillamente la $f$ più esterna:
$$f(x)^2y= f\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot yf(y)^2\ \ \Rightarrow f(x)^2=f\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot f(y)^2 \ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Q}^+\ \ \ \ (3)$$
Visto che stiamo lavorando nei razionali positivi, possiamo estrarre la radice quadrata ad entrambi i membri senza preoccuparci dei problemi con i segni, da cui:
$$f(x)=f\left(\frac{x}{y}\right)\cdot f(y) \ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Q}^+$$
Ponendo $\frac{x}{y}\leftarrow z$, ci riconduciamo a
$$f(zy)=f(z)\cdot f(y) \ \ \forall\ z,y\in\mathbb{Q}^+$$
Che è una particolare Cauchy (le ipotesi sono verificate, perché stiamo lavorando con razionali positivi), che ha come soluzione generale $f(x)=x^c$ (la funzione costantemente nulla non soddisfa), con $c\in \mathbb{R}$. Volendo questo si può dimostrare con una sostituzione esponenziale, ma il post è già abbastanza lungo e quindi dò questo fatto per scontato.
Sostituendo questa soluzione nella $(1)$ per la verifica, otteniamo
$$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)\ \ \Rightarrow f(x^{2c} y)=x^{c+3}y^c\ \Rightarrow x^{2c^2}=x^{c+3}\ \Rightarrow \ 2c^2=c+3$$
Risolvendo la quadratica in $c$, troviamo le soluzioni $c=-1$ (che soddisfa) e $c=3/2$ (che non soddisfa, infatti ogniqualvolta l'input non è il quadrato di un razionale non funziona). L'unica soluzione dovrebbe pertanto essere $f(x)=\frac{1}{x}$ (sperando di non aver sbagliato troppo).
$$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)\ \ \ \ \ \ (1)$$
Osservazione 1. Tutte le funzioni che verificano sono iniettive.
Dim. Supponiamo per assurdo che esistano due razionali distinti $x_1$ e $x_2$ tali che $f(x_1)=f(x_2)=c$. Chiaramente, confrontando i rispettivi LHS di $P(x_1,1)$ e $P(x_2,1)$ si ha:
$$f(f(x_1)^2)=f(c^2)=f(f(x_2)^2)$$
Dunque anche i RHS dovranno essere uguali fra loro, ovvero
$$x_1^3f(x_1)=x_2^3f(x_2)\ \ \Rightarrow \ \ x_1^3=x_2^3\ \ \Rightarrow\ \ x_1=x_2\ \ \ \textrm {Assurdo!}$$
Osservazione 2. Dividendo entrambi i membri dell'equazione $(1)$ per $x^3$ (diverso da $0$ perché è razionale positivo), si simmetrizza il RHS, da cui
$$\frac{f(f(x)^2y)}{x^3}=f(xy)=f(yx)=\frac{f(f(y)^2x)}{y^3}\ \ \ \forall\ \ x,y\in\mathbb{Q}^+\ \ \ \ (2)$$
Magheggiando un po' con le relazioni $(1)$ e $(2)$...
$$f(f(x)^2y)=\frac{x^3}{y^3}f(f(y)^2x)=\left(\frac{x}{y}\right)^3f\left(\frac{x}{y}\cdot yf(y)^2\right)=f\left(f\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot yf(y)^2\right)\ \ \forall \ x,y\in\mathbb{Q}^+$$
Sfruttiamo l'iniettività della funzione per rendere più decente la relazione trovata fra gli estremi LHS e RHS, semplificando tranquillamente la $f$ più esterna:
$$f(x)^2y= f\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot yf(y)^2\ \ \Rightarrow f(x)^2=f\left(\frac{x}{y}\right)^2\cdot f(y)^2 \ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Q}^+\ \ \ \ (3)$$
Visto che stiamo lavorando nei razionali positivi, possiamo estrarre la radice quadrata ad entrambi i membri senza preoccuparci dei problemi con i segni, da cui:
$$f(x)=f\left(\frac{x}{y}\right)\cdot f(y) \ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Q}^+$$
Ponendo $\frac{x}{y}\leftarrow z$, ci riconduciamo a
$$f(zy)=f(z)\cdot f(y) \ \ \forall\ z,y\in\mathbb{Q}^+$$
Che è una particolare Cauchy (le ipotesi sono verificate, perché stiamo lavorando con razionali positivi), che ha come soluzione generale $f(x)=x^c$ (la funzione costantemente nulla non soddisfa), con $c\in \mathbb{R}$. Volendo questo si può dimostrare con una sostituzione esponenziale, ma il post è già abbastanza lungo e quindi dò questo fatto per scontato.
Sostituendo questa soluzione nella $(1)$ per la verifica, otteniamo
$$f(f(x)^2y)=x^3f(xy)\ \ \Rightarrow f(x^{2c} y)=x^{c+3}y^c\ \Rightarrow x^{2c^2}=x^{c+3}\ \Rightarrow \ 2c^2=c+3$$
Risolvendo la quadratica in $c$, troviamo le soluzioni $c=-1$ (che soddisfa) e $c=3/2$ (che non soddisfa, infatti ogniqualvolta l'input non è il quadrato di un razionale non funziona). L'unica soluzione dovrebbe pertanto essere $f(x)=\frac{1}{x}$ (sperando di non aver sbagliato troppo).
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
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Re: funzione nei razionali positivi
Giusta per completezza posto la mia soluzione
Testo nascosto:
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"
"Just go to 7-11"
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"Why an inequality?"
"Inequality happens"