OliForum Matematico

SALVE mi sono iscritto tempo fa ma questo è solo il mio secondo post quindi scusatemi se pubblico così all'improvviso 3 problemi in un post solo....Comunque anche se voi sapete farne uno solo dei tre scrivetemelo per favore perchè io con i polinomi non ci so fare proprio. Grazie in anticipo e scusate ancora.

1 Il polinomio p(x) ha grado maggiore o uguale a 2 ed i suoi coefficienti sono tutti numeri interi . Quale dei seguenti numeri divide certamente p(169) - p(1) ? ? 25-32-36-49-5


2 Delle sirene elencano nel loro dolce canto tutti i polinomi p(x) non nulli a coefficienti interi di grado minore o uguale a 2014 e tali che p(x)^2 - 2 = p(x^2 -2) . Quanti polinomi vengono elencati ?

3 Ellisseo deve calcolare (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b) dove a b c d sono le radici del polinomio x^4 - 2x^3 - 61x^2 + 62x +840
Che numero calcola ?

Ciao! Ti rispondo al 3 perché anche io con i polinomi non sono così bravo , spero che sia giusto:
Chiamiamo
$ S=a+b+c+d $
$ P=abcd $
$ Q=ab+ac+ad+bc+cd+bd $
$ R=abc+bcd+cda+dab $
Intanto $ (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(a+d+b) $ diventa $ (S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $ , aprendo i conti abbiamo :
$ abcd-abcS-abdS+abS^2-acdS+acS^2+adS^2-aS^3-bcdS+bcS^2+bdS^2-bS^3+cdS^2-cS^3-dS^3+S^4 $ $=$
$=$ $ S^4-S^3(a+b+c+d)+S^2(ab+ac+ad+bc+cd+bd)-S(abc+bcd+cda+dab)+abcd $ $=$
$=$ $ S^4-S^4+S^2Q-SR+P $ $=$
$=$ $ S^2Q-SR+P $
Dalle relazioni tra le radici si sa che i coefficienti del polinomio sono:
$ x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+cd+bd)x^2-(abc+bcd+cda+dab)x+abcd $ quindi abbiamo:
$ S=2 $
$ Q=-61 $
$ R=-62 $
$ P=840 $
Quindi $ S^2Q-SR+P=2^2(-61)-2(-62)+840=720 $
Spero di non essermi sbagliato

Senza fare troppi conti, basta che ti accorgi che ti sta chiedendo $ p (S) $

P.S: il 2 è abbastana arduo/tecnico, ed è stato postato non troppo tempo fa...

Il 2 è abbastanza arduo, è vero, ma "indovinare" la risposta (capire quale dovrebbe essere il numero giusto, senza una dimostrazione) non è ignobilmente difficile dopo averci lavorato su un po'.

Dato che il primo è stato snobbato:
Per la divisione euclidea tra polinomi e ruffini, $ p(x)=(x-a)q(x)+p(a) $. Ponendo x=b ottengo:
$ (b-a)|(p(b)-p(a) $ (questo vale ovviamente per polinomi a coefficienti interi)
Hai quindi che $168|p(169)-p(1)$, e tra le risposte date non è difficile trovare quella giusta

Vi prego non date niente per scontato, non ho mai fatto esercizi sui polinomi alle olimpiadi e vorrei capire bene
Grazie

Ti consiglio di vedere un A1 del basic, così prendi confidenza con alcuni fatti base sui polinomi...
In particolare se sai che $ p $ è di quarto grado e ha come radici $ a, b, c, d $ allora puoi scrivere $ p (x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) $
Ora, per il 3, se chiami $ S=a+b+c+d $, vedi che ti sta chiedendo proprio $(S-a)(S-b)(S-c)(S-d) $, che in virtù di quello che abbiam detto prima è esattamente $ p (S) $
Infine, se provi ad espandere i conti, vedi che la somma delle radici è il coefficiente del termine di grado subito minore del massimo, cambiato di segno; dunque $ S=2 $ e puoi sostituirlo nell'espressione estesa di $p $

Riscrivo anche io:
hai un polinomio p(x), puoi fare la divisone euclidea per un qualsiasi altro polinomio (ottenendo un quoziente ed un resto che sono polinomi, con coefficienti che dipendono da p(x) e dal divisore: se p(x) e il divisore hanno coefficienti razionali allora i coefficienti del quoziente (che chiamo q(x) e del resto sono razionali, se sono reali saranno reali, se sono interi e il divisore è monico allora saranno interi ecceter); il grado del Polinomio Resto (chiamiamolo r(x)) ha grado minore del divisore (se fosse maggiore o uguale potrei dividere ancora). Se divido p(x) per un polinomio di primo grado (x-a), ottengo:
$ p(x)=(x-a)q(x)+r(x) $
Per quanto detto prima, r(x) ha grado minore di (x-a), quindi è un polinomio di grado 0 (visto che x-a ha grado 1), quindi è una costante; per trovarcela pongo x=a nell'espressione sopra:
$ p(a)=(a-a)q(x)+r(x) $
$ p(a)=r(x) $
Ora la formula diventa
$ p(x)=(x-a)q(x)+p(a) $
che equivale a dire (ponendo x=b per bellezza)
$ p(b)-p(a)=(b-a) q(b) $
Ora se p(x) ha coefficienti interi, a e x sono interi,allora p(a) e p(x) sono interi cosi come la loro differenza. q(x) è intero (perché?) quindi il numero b-a divide p(b)-p(a).

Come Drago ti consiglio di vedere un A1 del senior basic che ha la teoria che ti serve (e non solo)

karlosson_sul_tetto ha scritto:e tra le risposte date non è difficile trovare quella giusta

E qual è?

Ahahah
Palese che è 42!

A parte gli scherzi, hai trasformato un 56 in 5 nel copiare dal testo di archimede al forum...