Party di disuguaglianze!

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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HCP16
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Party di disuguaglianze!

Messaggio da HCP16 » 17 set 2014, 00:05

Per $x,y,z$ reali positivi con $ xyz=1 $ dimostrare che:

$ \sum{\frac{1}{y^2z^4+x^2z^4}}\ge{\frac{3}{2}} $

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Loara
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Re: Party di disuguaglianze!

Messaggio da Loara » 18 set 2014, 10:37

HCP16 ha scritto:Per $x,y,z$ reali positivi con $ xyz=1 $ dimostrare che:

$ \sum{\frac{1}{y^2z^4+x^2z^4}}\ge{\frac{3}{2}} $
Non riesco a capire la sommatoria: come variano $x, y, z$ nella somma? Come vengono incrementati?
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\ =221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\ 210=2*3*5*7 $

fph
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Re: Party di disuguaglianze!

Messaggio da fph » 18 set 2014, 10:39

È una sommatoria ciclica: cioè,
$$\sum_{\mathrm{cyc}} f(x,y,z) := f(x,y,z) + f(y,z,x) + f(z,x,y).$$

Si usa spesso nelle disuguaglianze per semplificare la notazione; per esempio, la disuguaglianza $xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2$ diventa $\sum_{\mathrm{cyc}} xy \leq \sum_{\mathrm{cyc}} x^2$.
--federico
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Drago96
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Re: Party di disuguaglianze!

Messaggio da Drago96 » 18 set 2014, 11:38

Beh, vale anche sui negativi...
Hint:
Testo nascosto:
Nesbitt
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

HCP16
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Re: Party di disuguaglianze!

Messaggio da HCP16 » 18 set 2014, 23:33

Drago96 visto cosa hai scritto nell' hint la tua soluzione è quella che pensavo io :mrgreen: , dopo tutto credo sia la più semplice, ci sono vie significativamente diverse?

Delfad0r
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Re: Party di disuguaglianze!

Messaggio da Delfad0r » 10 ott 2014, 18:57

Suppongo che la soluzione con Nesbitt sia semplicemente di applicare la suddetta disuguaglianza alle variabili $ 1/x^2,1/y^2,1/z^2 $, ottenendo
$$
\sum \frac{ 1/x^2 }{ 1/y^2+1/z^2} \ge \frac{3}{2} \implies \sum \frac{ 1 }{x^2 \left( \frac{ y^2+z^2 }{y^2z^2} \right) } \ge \frac{3}{2} \implies \sum \frac{ 1 }{ x^2 \cdot x^2(y^2+z^2) } \ge \frac{3}{2}
$$
ossia la tesi.
Ho poi pensato (cioè in realtà prima) a un'altra soluzione che, sebbene meno elegante, può risultare più intuitiva (almeno per me).
$$
\sum \frac{ \left( \frac{1}{z^2} \right)^2 }{ x^2 + y^2 } \quad \underset{ \text{Titu} }{ \ge } \quad \frac{ \left( \sum \frac{1}{x^2} \right)^2 }{ 2 \sum x^2 } \quad = \quad \frac{ \left( \sum x^2y^2 \right)^2 } { 2 \sum x^2 } \quad = \quad \frac { \sum x^4y^4+ 2 \sum x^2 }{ 2 \sum x^2 } \quad = \quad 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{ \sum x^4y^4 }{ \sum x^2 }
$$
Se dimostriamo che $ \sum x^4y^4 \ge \sum x^2 $ abbiamo finito. Ma $ \sum x^2 = \sum x^2 (xyz)^2 = \sum x^4y^2z^2 $, che è minore o uguale a $ \sum x^4y^4 $ per bunching (in realtà qui le sommatorie sono cicliche, ma a meno di moltiplicare per 2 possiamo considerarle simmetriche).

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