Ho aspettato una settimana, ma dato che nessuno si fa avanti. . .
Dunque, per ogni $i$, vale per AM-GM:
$$
(1+a_i)^i=\left(\frac{1}{i-1}+\ldots+\frac{1}{i-1}+a_i\right)^i\geq \frac{i^i}{(i-1)^{i-1}}\, a_i
$$
dove ho sostituito l' $1$ con la somma di $i-1$ addendi pari a $\frac{1}{i-1}$. Moltiplicando tutte queste disuguaglianze si ottiene (notando che i RHS sono telescopici e usando il vincolo) la disuguaglianza voluta. Per vedere che non può valere il caso di uguaglianza osservo che dovrebbe valere su tutte le disuguaglianze che ho moltiplicato, quindi per ogni $i$ dovrei avere:
$$
a_i=\frac{1}{i-1}
$$
che non può verificarsi perchè evidentemente il vincolo non sarebbe soddisfatto.
Spargi il defoliante
sulla cassa dirigente
[anonimo]