93. Disuguaglianza carina

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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LucaMac
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93. Disuguaglianza carina

Messaggio da LucaMac » 16 set 2014, 22:47

Sia $ n \geq 3 $ un intero positivo , e siano $a_2 , a_3 , \ldots , a_n $ reali positivi tali che $ \prod\limits_{i=2}^{n} a_i = 1 $ . Provare che
\begin{equation}
\prod\limits_{i=2}^{n} (1 + a_i )^{i} > n^n
\end{equation}
Testo nascosto:
è un problema abbastanza noto, ma non trovavo nient' altro :lol:
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"

machete
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Re: 93. Disuguaglianza carina

Messaggio da machete » 24 set 2014, 18:54

Ho aspettato una settimana, ma dato che nessuno si fa avanti. . .

Dunque, per ogni $i$, vale per AM-GM:
$$
(1+a_i)^i=\left(\frac{1}{i-1}+\ldots+\frac{1}{i-1}+a_i\right)^i\geq \frac{i^i}{(i-1)^{i-1}}\, a_i
$$
dove ho sostituito l' $1$ con la somma di $i-1$ addendi pari a $\frac{1}{i-1}$. Moltiplicando tutte queste disuguaglianze si ottiene (notando che i RHS sono telescopici e usando il vincolo) la disuguaglianza voluta. Per vedere che non può valere il caso di uguaglianza osservo che dovrebbe valere su tutte le disuguaglianze che ho moltiplicato, quindi per ogni $i$ dovrei avere:
$$
a_i=\frac{1}{i-1}
$$
che non può verificarsi perchè evidentemente il vincolo non sarebbe soddisfatto.
Spargi il defoliante
sulla cassa dirigente
[anonimo]

LucaMac
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Re: 93. Disuguaglianza carina

Messaggio da LucaMac » 24 set 2014, 19:42

Ovviamente è giusta :D vai pure con il prossimo
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