Re: Disuguaglianza ''Nesbitt'' 2.0
Inviato: 14 set 2014, 00:37
Sbaglio io o hai usato un verso errato? Cioè, $ ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2\geq 6abc $ implica $ \frac{3abc}{2abc+ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}\leq \frac{3abc}{2abc+6abc} $, non $ \geq $.ale96 ha scritto:Salve a tutti, mi sono iscritto da pochi giorni a questo forum.
Detto questo, riscrivendo la disequazione utilizzando AM-GM:
$ \frac{\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(c+a)^3}}{3}\ge{\sqrt[3]{\frac{a^3}{(a+b)^3}*\frac{b^3}{(b+c)^3}*\frac{c^3}{(c+a)^3}}} $
Dal momento che nella radice cubica ci sono solo potenze cubiche legate da un prodotto, si può portare fuori tutto il radicando. Si ottiene al secondo membro questa frazione, effettuando le moltiplicazioni al denominatore e moltiplicando per il denominatore della frazione nel primo membro:
$ \frac{3abc}{2abc+ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2} $
Prendiamo in esame una parte del denominatore, $ ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2 $, e utilizziamo ancora una volta AM-GM, ottenendo
$ \frac{ab^2+ba^2+ac^2+ca^2+bc^2+cb^2}{6}\ge{\sqrt[6]{(ab^2)(ba^2)(ac^2)(ca^2)(bc^2)(cb^2)}} $
All'interno della radice sesta si ottiene questo risultato $ a^6b^6c^6 $, semplificandosi con la radice stessa.
A questo punto, moltiplicando per $ 6 $, otteniamo che la parte presa in esame della disequazione originaria è maggiore o uguale a $ 6abc $, rendendo possibile la sostituzione. Otteniamo così al secondo membro la frazione $ \frac{3abc}{2abc+6abc} $ e a questo punto è dimostrata la disequazione perché la semplificazione della frazione sarà pari a $ 3/8 $
Comunque stavo provando a farla proprio col Lemma di Titu, ma non escono mai i versi giusti alle disuguaglianze... D: