Polinomi e $d$-polinomi

[Loara]

Un problema precedentemente postato mi ha fatto venire in mente quest'altro problema abbastanza simile.

Definiamo un $d$-monomio $ax^{(k)}$ di grado $k$ come prodotto di una costante $a$ e della funzione $x^{(k)}$, definita per $x$ reale e per $k$ intero, definita dalla formula di ricorrenza:
\begin{eqnarray}
& x^{(0)}=1 &\\
& x^{(k+1)}=(x-k)x^{(k)} &
\end{eqnarray}
Definiamo ora un $d$-polinomio $D(x)$ di grado $k$ la seguente somma:
$$
D(x)=\sum^k_{i=0}a_ix^{(i)}
$$
con $a_i$ una qualunque costante.
Dimostrare che per ogni $d$-polinomio $D(x)$ di grado $k$ esistono delle costanti $c_0, c_1, c_2, \cdots c_{k+1}$ tali che, per ogni $N$ intero non negativo:
$$
\sum^N_{x=0} D(x)=\sum^{k+1}_{i=0} c_iN^i
$$
e trovare un modo di calcolare i $c_i$.