Polinomi e $d$-polinomi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Loara
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Polinomi e $d$-polinomi

Messaggio da Loara » 25 ago 2014, 10:08

Un problema precedentemente postato mi ha fatto venire in mente quest'altro problema abbastanza simile.

Definiamo un $d$-monomio $ax^{(k)}$ di grado $k$ come prodotto di una costante $a$ e della funzione $x^{(k)}$, definita per $x$ reale e per $k$ intero, definita dalla formula di ricorrenza:
\begin{eqnarray}
& x^{(0)}=1 &\\
& x^{(k+1)}=(x-k)x^{(k)} &
\end{eqnarray}
Definiamo ora un $d$-polinomio $D(x)$ di grado $k$ la seguente somma:
$$
D(x)=\sum^k_{i=0}a_ix^{(i)}
$$
con $a_i$ una qualunque costante.
Dimostrare che per ogni $d$-polinomio $D(x)$ di grado $k$ esistono delle costanti $c_0, c_1, c_2, \cdots c_{k+1}$ tali che, per ogni $N$ intero non negativo:
$$
\sum^N_{x=0} D(x)=\sum^{k+1}_{i=0} c_iN^i
$$
e trovare un modo di calcolare i $c_i$.
$ 210^2+211^2+212^2+213^2+214^2+215^2+216^2+217^2+218^2+219^2+220^2=\\ =221^2+222^2+223^2+224^2+225^2+226^2+227^2+228^2+229^2+230^2\\ 210=2*3*5*7 $

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