Somme strane

[Loara]

Il professore Eulero de Fermat ha fatto una grande scoperta nel mondo della matematica: ha infatti scoperto che, per ogni intero positivo $ k $ la seguente equazione nella variabile $ x $:
$ x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+\cdots (x+k)^2=(x+k+1)^2+(x+k+2)^2+\cdots +(x+2k)^2 $
ha una soluzione intera e positiva. Però il professore ha perso i suoi appunti sui quali ha scritto la dimostrazione. Aiutate il professore, dimostrando tale proprietà.

Inoltre dimostrare se esiste un intero $ i $ tale che per ogni numero intero positivo $ k\geq 1-i $ la sequente equazione in $ x $:
$ x^3+(x+1)^3+(x+2)^3+\cdots (x+k)^3=(x+k+1)^3+(x+k+2)^3+\cdots +(x+2k+i)^3 $
ha almeno una soluzione intera positiva.

[Tess]

Non è più adatto a teoria dei numeri?

edit: pensavo ad un altro problema...

[Lasker]

(1) Intanto faccio la prima:
$$\sum_{i=1}^{k+1} (x-1+i)^2=\sum_{i=1}^k (x+k+i)^2\Rightarrow \ \sum_{i=1}^k [(x+k+i)^2-(x-1+i)^2]=(x+k)^2$$
Fattorizzando la differenza di quadrati presente al LHS
$$ \sum_{i=1}^k [(k+1)(2x+k+2i-1)]=(x+k)^2$$
Armeggiando ancora un po' con la sommatoria si arriva a
$$(k+1)\left[2kx+k^2-k+\sum_{i=1}^{k} 2i\right]=(x+k)^2\ \Rightarrow \ (k+1)[2kx+k^2-k+k(k+1)]=(x+k)^2$$
L'espressione tra parentesi quadre si può però ancora fattorizzare, così arriviamo a
$$2k(k+1)(k+x)=(x+k)^2\ \Rightarrow 2k(k+1)=k+x\Rightarrow x=2k^2+k$$
E la soluzione intera e positiva l'abbiamo trovata.

[Loara]

Esiste una soluzione più semplice del primo punto:

Testo nascosto:

Poniamo nell'equazione iniziale $ x=x'-k $ e otteniamo
$$ (x'-k)^2+(x'-k+1)^2+\cdots +(x'-1)^2+{x'}^2=(x'+1)^2+(x'+2)^2+\cdots +(x'+k)^2 $$
che ha una soluzione in $ x'=0 $. Per trovare l'altra soluzione riduciamo l'equazione ad una di primo grado, che diventa:
$$ (k+1)x'-2(1+2+3+\cdots +k)=kx'+2(1+2+3+\cdots +k) $$
che ha come soluzione $ x'=2k(k+1) $ (ricordando che $ 1+2+3+\cdots +k=\dfrac{k(k+1)}{2} $) quindi la soluzione intera è $ x=2k(k+1)-k=2k^2+k $.

[Loara]

Comunque attendo la soluzione del secondo punto