Somme di cubi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Julito
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Somme di cubi

Messaggio da Julito »

Il problema che non mi da pace è il seguente, e non riesco a venirne a capo:
" Determinare la minima somma di tre interi positivi DISTINTI, tali che presi a due a due la loro somma sia sempre un cubo perfetto" .
Grazie ragazzi
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Troleito br00tal
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Re: Somme di cubi

Messaggio da Troleito br00tal »

Siano $a,b,c$ i tre numeri cercati. Valgono $z^3=a+b;y^3=a+c;x^3=b+c$, quindi $a+b+c=\frac{x^3+y^3+z^3}{2}$, $x^3+y^3+z^3$ è pari e valgono le triangolari su $x^3,y^3,z^3$ ($z^3<x^3+y^3$ ecc...). È facile osservare che queste condizioni sono equivalenti all'ipotesi (si verifica che tornando indietro otteniamo $a,b,c$ interi [condizione sulla parità] e positivi [triangolari]). Un po' a spanne si può vedere che i più piccoli cubi che soddisfano sono $343, 512, 729$ (credo), quindi il valore cercato è $\frac{343+512+729}{2}=792$.
Julito
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Re: Somme di cubi

Messaggio da Julito »

Bene, la risposta è corretta, ma in tutta franchezza non riesco ad afferrare il fatta che valgano le proprietà triangolari. Perché?
Julito
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Re: Somme di cubi

Messaggio da Julito »

Si ci sono, che stupido! Grazie mille! Non avevo proprio visto quelle maledette proprietà triangolari. Grazie ancora!
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