Siano $a$, $b$ e $c$ reali positivi tali che $a+b+c=abc$. Dimostrare che:
$$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}} \leq \frac{3}{2}$$
e via, determiniamo pure i casi di uguaglianza.
Boh, c'è sta disuguaglianza
Boh, c'è sta disuguaglianza
"Signora, lei sì che ha le palle, mica come quella checca di suo figlio"
"La zuppa magica dedicata a te Gianluca"
"È "iamo", non rompere i coglioni"
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Re: Boh, c'è sta disuguaglianza
Lemma: se $\alpha+\beta+\gamma=k\pi$ (con $k\in\mathbb{Z}$), allora vale
$$\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$$
$$\alpha+\beta+\gamma=k\pi\Rightarrow \alpha+\beta=k\pi-\gamma$$
Prendendo la tangente di entrambi i membri, ottengo che deve valere quindi
$$(1) \ \ \ \tan(\alpha+\beta)=\tan(k\pi-\gamma)$$
ma essendo la tangente una funzione periodica di periodo $\pi$, posso vedere tutti gli angoli modulo $\pi$ e riscrivere l'ultima equazione come:
$$\tan(\alpha+\beta)=\tan(-\gamma)$$
Poiché inoltre la tangente è una funzione dispari, il RHS si riscrive come $-\tan(\gamma)$. Usando quindi la formula di addizione della tangente al LHS, si ha che è verificata:
$$\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}=-tan(\gamma)\Rightarrow \tan(\alpha)+\tan(\beta)=-\tan(\gamma)+\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$$
Sommando $\tan(\gamma)$ ad entrambi i membri si ha quindi la tesi del lemma. Osservo inoltre che se $\alpha+\beta+\gamma=x$, con $x\ne k\pi$, affinché valga la medesima identità dovrebbe valere
$$\tan(x-\gamma)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))=\tan(k\pi-\gamma)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))\Rightarrow \tan(x-\gamma)=\tan(k\pi-\gamma)$$
Ovvero, per l'iniettività della tangente in $-\pi/2,\pi/2$, dovrebbe essere $x-\gamma=k\pi-\gamma\Rightarrow x=k\pi$, assurdo; dunque il lemma in effetti è un "se e solo se".
Dato il nostro lemma, il vincolo $a+b+c=abc$ diventa molto più trattabile, posso infatti tranquillamente sostituire $a\leftarrow\arctan(\alpha)$ e cicliche (sapendo che $\alpha+\beta+\gamma=\pi$); la tesi diventa quindi:
$$\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\beta)}}+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\gamma)}}\leq \frac{3}{2}$$
Ovvero, sostituendo banalmente $\tan(x)$ con $\sin(x)/\cos(x)$, e ricordando che $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$,
$$\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}}=\sum_{cyc} \frac{\cos(\alpha)}{\sqrt{\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)}}=\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)\leq \frac{3}{2}$$
Ricordo che stiamo usando angoli modulo $\pi$, visto che il coseno è concavo in $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ (per mostrarlo, boh, basta fare la derivata seconda che è $-\cos(x)$ e studiarne il segno), quindi per Jensen con pesi $1/3, 1/3$ ed $1/3$ si ha che vale:
$$\frac{1}{3}\cos(\alpha)+\frac{1}{3}\cos(\beta)+\frac{1}{3}\cos(\gamma)\leq\cos\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$
Moltiplicando entrambi i membri di questa disuguaglianza per $3$ si ha la tesi, con uguaglianza se e solo se $\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}$, da cui $a=b=c=\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$
$$\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$$
$$\alpha+\beta+\gamma=k\pi\Rightarrow \alpha+\beta=k\pi-\gamma$$
Prendendo la tangente di entrambi i membri, ottengo che deve valere quindi
$$(1) \ \ \ \tan(\alpha+\beta)=\tan(k\pi-\gamma)$$
ma essendo la tangente una funzione periodica di periodo $\pi$, posso vedere tutti gli angoli modulo $\pi$ e riscrivere l'ultima equazione come:
$$\tan(\alpha+\beta)=\tan(-\gamma)$$
Poiché inoltre la tangente è una funzione dispari, il RHS si riscrive come $-\tan(\gamma)$. Usando quindi la formula di addizione della tangente al LHS, si ha che è verificata:
$$\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}=-tan(\gamma)\Rightarrow \tan(\alpha)+\tan(\beta)=-\tan(\gamma)+\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$$
Sommando $\tan(\gamma)$ ad entrambi i membri si ha quindi la tesi del lemma. Osservo inoltre che se $\alpha+\beta+\gamma=x$, con $x\ne k\pi$, affinché valga la medesima identità dovrebbe valere
$$\tan(x-\gamma)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))=\tan(k\pi-\gamma)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))\Rightarrow \tan(x-\gamma)=\tan(k\pi-\gamma)$$
Ovvero, per l'iniettività della tangente in $-\pi/2,\pi/2$, dovrebbe essere $x-\gamma=k\pi-\gamma\Rightarrow x=k\pi$, assurdo; dunque il lemma in effetti è un "se e solo se".
Dato il nostro lemma, il vincolo $a+b+c=abc$ diventa molto più trattabile, posso infatti tranquillamente sostituire $a\leftarrow\arctan(\alpha)$ e cicliche (sapendo che $\alpha+\beta+\gamma=\pi$); la tesi diventa quindi:
$$\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\beta)}}+\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\gamma)}}\leq \frac{3}{2}$$
Ovvero, sostituendo banalmente $\tan(x)$ con $\sin(x)/\cos(x)$, e ricordando che $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$,
$$\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}}=\sum_{cyc} \frac{\cos(\alpha)}{\sqrt{\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)}}=\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)\leq \frac{3}{2}$$
Ricordo che stiamo usando angoli modulo $\pi$, visto che il coseno è concavo in $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ (per mostrarlo, boh, basta fare la derivata seconda che è $-\cos(x)$ e studiarne il segno), quindi per Jensen con pesi $1/3, 1/3$ ed $1/3$ si ha che vale:
$$\frac{1}{3}\cos(\alpha)+\frac{1}{3}\cos(\beta)+\frac{1}{3}\cos(\gamma)\leq\cos\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$
Moltiplicando entrambi i membri di questa disuguaglianza per $3$ si ha la tesi, con uguaglianza se e solo se $\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{3}$, da cui $a=b=c=\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
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Re: Boh, c'è sta disuguaglianza
A parte il fatto che questo pezzo
(che poi è il punto cruciale del problema) è spiegato male, tutto funziona bene. Ottimo! Sembrava un modo carino per far vedere una sostituzione classica nelle disuguaglianze, sai mai torni utile a qualcuno un giorno in qualche vita.Lasker ha scritto:Osservo inoltre che se $\alpha+\beta+\gamma=x$, con $x\ne k\pi$, affinché valga la medesima identità dovrebbe valere
$$\tan(x-\gamma)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))=\tan(k\pi-\gamma)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))\Rightarrow \tan(x-\gamma)=\tan(k\pi-\gamma)$$
Ovvero, per l'iniettività della tangente in $-\pi/2,\pi/2$, dovrebbe essere $x-\gamma=k\pi-\gamma\Rightarrow x=k\pi$, assurdo; dunque il lemma in effetti è un "se e solo se".
"Signora, lei sì che ha le palle, mica come quella checca di suo figlio"
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Re: Boh, c'è sta disuguaglianza
Testo nascosto: