Altri binomiali

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Triarii
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Altri binomiali

Messaggio da Triarii » 04 lug 2014, 21:22

Tanto per restare in tema :P

Sia $n\ge 2$ un intero. Mostrare che
$$\sum_{k=1}^n kx_k \le \binom {n} {2} +\sum_{k=1}^n x_k^k$$
per tutti i reali non negativi $x_1,x_2,...,x_n$
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Lasker
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Re: Altri binomiali

Messaggio da Lasker » 04 lug 2014, 21:58

Come sempre quando c'è $n$, provo l'induzione (se lo avessi chiamato $x$ non ci avrei pensato :lol: ).
Il passo base $n=2$ è abbastanza banale, in quanto, per AM-GM su $(1, x_2^2)$ si ha:
$$2x_2\leq 1+x_2^2$$
Accorgendomi che $1={2\choose 2}$ e sommando ad entrambi i membri $x_1$ ottengo proprio
$$x_1+2x_2\leq {2\choose 2}+x_1+x_2^2\Rightarrow \sum_{k=1}^2 kx_k\leq {2\choose 2}+\sum_{k=1}^2 x_k^k$$
Dimostro ora la tesi per $n+1$ assumendo che valga per $n$:
$$\left(\sum_{k=1}^n ka_k\right)+(n+1)a_{n+1}\leq{n\choose 1}+\left({n\choose 2}+\sum_{k=1}^n a_k^k\right)+a_{n+1}^{n+1}$$
Dove ho spezzato il binomiale in due parti grazie alla ben nota formula di Stifel (quella del triangolo di Tartaglia, isomma).
Mi resta dunque da dimostrare:
$$(n+1)a_{n+1}\leq n+a_{n+1}^{n+1}$$
Che è tranquillamente AM-GM su $(\underbrace{1,1,1,...,1}_{n \textrm{ volte}},a_{n+1}^{n+1})$.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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Re: Altri binomiali

Messaggio da Triarii » 04 lug 2014, 22:21

Corretto :)
Un altro possibile approccio è quello riscirvere $x_k^k$ come $(1+x_k-1)^k$ e appplicare Bernoulli, ottenendo
$$(1+x_k-1)^k\ge 1+kx_k-k$$
Ripetendo il procedimento per ogni $k$ e sommando membro a membro ogni disuguaglianza si ottiene proprio la tesi (Il binomiale si può vedere come somma dei primi $n-1$ naturali, che è proprio la quantità che viene dalla somma)
Ultima modifica di Triarii il 07 lug 2014, 17:38, modificato 1 volta in totale.
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Gottinger95
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Re: Altri binomiali

Messaggio da Gottinger95 » 05 lug 2014, 21:17

Maggiorazione di coefficienti con esponenti chiama Bernoulli, come si dice a roma (?)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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