x, y e z

[enrico_s]

Trovare tutte le terne $ (x,y,z) $ di reali maggiori di 1 tali che

$ x+y+z=2\sqrt{x+6}+2\sqrt{y+6}+2\sqrt{z+6}-\frac{7}{x-1}-\frac{7}{y-1}-\frac{7}{z-1} $

[machete]

Sembra andare :

Considero $f,\, g: (1,+\infty)\rightarrow \mathbf{R}$ siffatte:
$$
f(x)=x+\frac{7}{x-1}\qquad\qquad g(x)=2\, \sqrt {x+6}
$$
$f$ è strettamente convessa nel suo dominio perchè somma dell' identità e di una funzione strettamente convessa (il grafico è standard), $g$ strettamente concava.
Osserviamo che vale $f\geq g\ \ (*)$ con l' uguaglianza solo se $x_0=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$, infatti:
$$
x+\frac{7}{x-1}-2\, \sqrt {x+6}\geq 0\quad \Leftrightarrow\quad x\, (x-1)+7-2(x-1)\sqrt{x+6}\geq 0
$$
Posto $ t:=\sqrt{x+6}>\sqrt{7} $ abbiamo:
$$
(t^2-6)(t^2-7)+7-2t\, (t^2-7)\geq 0
$$
che, manco farlo apposta è un quadrato:
$$
t^4-2t^3-13t^2+14t+49={(t^2-t-7)}^2\geq 0
$$
L' uguaglianza si ha solo per $t_0=\frac{1+\sqrt{29}}{2}$ (l' altra soluzione era negativa), cioè per $x_0=t_0^2-6=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$.

Passiamo ora all' equazione del testo che si scrive come: $\mbox{L}=f(x)+f(y)+f(z)=g(x)+g(y)+g(z)=\mbox{R}$.
Applicando Jensen e la $(*)$, posto $\sigma:=(x+y+z)/3$ abbiamo:
$$
\mbox{L}\geq 3\cdot f(\sigma)\geq 3\cdot g(\sigma)\geq \mbox{R}
$$
Perchè valga l' uguaglianza centrale si deve avere $f(\sigma)=g(\sigma)$ cioè $\sigma=x_0$; affinchè valga l' uguaglianza in Jensen devo avere $x=y=z$ (uso la stretta convessità/concavità).

Dunque l' unica soluzione nell' insieme richiesto è $(x,y,z)=\left(\frac{3+\sqrt{29}}{2},\frac{3+\sqrt{29}}{2},\frac{3+\sqrt{29}}{2}\right)$

p.s. : Ma per caso originariamente il problema era stato postato col solo vincolo di positività per $x,y,z$ ?

[enrico_s]

si il problema originariamente aveva solo la condizione che x,y,z fossero positivi e sinceramente non so se in quel caso sarebbe l'unica soluzione, magari qualcuno che ne sa più di me può illuminarmi

comunque la soluzione mi sembra corretta, anche se alcuni passaggi non mi erano chiarissimi ma sono andato a documentarmi, per il controllo chiedo l'aiuto di qualcuno più esperto. (La soluzione scritta alla fine è sbagliata ma credo sia un errore di battitura)

Propongo anche la mia soluzione .
Considero $ f:(1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} $ tale che

$ f(x)=x+\frac{7}{x-1} -2\sqrt{x+6} $

dunque la richiesta diventa $ f(x)+f(y)+f(z)=0 $

Ho che $ x+\frac{7}{x-1} -2\sqrt{x+6}=\frac{x^2-x+7-2(x-1)\sqrt{x+6}}{x-1}=\frac{(x-1)^2+x+6-2(x-1)\sqrt{x+6}}{x-1}=\frac{(x-1-\sqrt{x+6})^2}{x-1} $

Chiaramente $ f(x) $ è sempre positiva oppure nulla .
Proprio quest'ultimo caso è quello che ci interessa perché a questo punto vogliamo avere $ f(x)=f(y)=f(z)=0 $
e si trova facilmente che gli unici valori sono $ x=y=z=\frac{3+\sqrt{29}}{2} $

[machete]

Sì sì, editato, un' errore "di distrazione" Mannaggia è vero Jensen neanche serve, se quella roba è un quadrato, che tardo XD . . . Se fossero solo positivi le soluzioni sono un CASINO (è qualcosa di dimensione 2 direi in un certo senso circa all' inquasi) e non so se si riescono a parametrizzare. . . basta tracciare il grafico di $f-g$ per accorgersene!