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Mi sono trovato in un esercizio a dover scomporre questo polinomio di quarto grado:
$ t^4+t^3+10t^2-4t+24=0 $
Tuttavia non riesco a scomporlo. Ho pensato potesse essere un prodotto di trinomi o di binomi nella forma $(ax+b)$
ma non sono riuscito a trovarli. Ho quindi iniziato a pensare che questo non sia scomponibile. Se così fosse come posso dimostrarlo?
Altrimenti come si può scomporre?
Grazie mille in anticipo per l' aiuto

Boh per provare a dimostrare che un polinomio non è scomponibile prova a dimostrare che è sempre maggiore o sempre minore di $ 0 $!

Il metodo suggerito da Simone non funziona. $(x^2+1)(x^2+2)$ è sempre positivo ma è scomponibile.

Comunque sia Boris a posto $p(t)=0$ mentre è sempre positivo... so ce non c'entra molto con la scomponibilità, ma ho notato questa cosa

fph ha scritto:Il metodo suggerito da Simone non funziona. $(x^2+1)(x^2+2)$ è sempre positivo ma è scomponibile.

Che figuraccia hahaha
Ho letteralmente confuso scomponibile con "avente soluzioni reali".
Chiedo scusa e ringrazio

P.s. Ineffetti quell' $ =0 $ poteva trarre in inganno

In effetti il problema richiede solamente di trovare le soluzioni reali. Lo ho risolto dicendo:
- se $x\leq -1$ ho che $t^4+t^3 è \geq 0 $ per ogni $x$ reale. In particolare se $x=-1 t^4+t^3=0$ ma tutti gli altri termini sono positivi quindi il polinomio è positivo
- se $-1<x<0 $ l' unico valore negativo mi è dato da $t^3$ il cui valore assoluto è sempre minore di 24 in quanto varia tra $1$ e $0$ esclusi quindi anche in questo caso il polinomio è positivo
-per $x=0$ $P(t)=24$
-per $0<x<0$ l' unico fattore negativo ci è dato da $4t$ ma poichè il suo valore assoluto varia tra $1$ e $0$ esclusi ancora una volta esso è minore di 24
-per $0<x\leq 6 -4t \leq 24$ quindi $P(t)>0 $ in quanto gli altri fattori sono positivi
- per $x \geq 6 $ è comunque facilmente verificabile che il valore assoluto di $t^5$ è maggiore del valore assoluto di $4t$ quindi $P(t)>0 $
$P(t)$ è quindi maggiore di 0 per ogni $x$ reale.

Penso possa andar bene come soluzione tuttavia mi è rimasto il dubbio se questo polinomio sia o no scomponibile.

Se non sto prendendo un abbalio un polinomio a coefficienti reali è sempre prodotto di polinomi a coefficienti reali di primo o secondo grado... Il polinomio ha 4 soluzioni complesse di cui a coppie coniugate fra loro... Quindi è prodotto di due polinomi di secondo grado (a coefficienti reali).
Trovare questi polinomi è un altro discorso

Domanda: di che livello/difficoltà era l'esercizio?
Perché se era basso allora probabilmente c'è un errore... la scomposizione è uno schifo enorme

ho cercato di mettere in evidenza fattori sempre positivi. Mi disturba il fattore $ -4t $ per cui provo a farlo comparire in un quadrato
$ P(t) = Q(t)+ (2t-1)^2 = Q(t) + 4t^2-4t+1 $
$ P(t) = t^4+t^3+6t^2+ (2t-1)^2 +23 $

Raccolgo $ t^2 $
$ P(t) = t^2(t^2 + t + 6) + (2t-1)^2 +23 $

ed essendo $ t^2 + t + 6 > 0 $ sempre, credo di poter concludere che non vi siano soluzioni reali

karlosson_sul_tetto ha scritto:Domanda: di che livello/difficoltà era l'esercizio?
Perché se era basso allora probabilmente c'è un errore... la scomposizione è uno schifo enorme

Non credo vi sia un errore di battitura in quanto quel polinomio mi deriva da una scomposizione con Ruffini e torna il resto 0.
L' esercizio è di difficoltà media penso

Quel polinomio è irriducibile su $\mathbb{F}_{11}$, dunque di certo non si scrive come prodotto di polinomi a coefficienti interi.

elianto84 ha scritto:Quel polinomio è irriducibile su $\mathbb{F}_{11}$, dunque di certo non si scrive come prodotto di polinomi a coefficienti interi.

Scusa la mia ignoranza (sono un vecchio che non mastica più matematica da tempo immemorabile), che cos'è $\mathbb{F}_{11}$ ?

Dopo l'aver preso l'abbaglio sul scomponibilità vs avere zero reali, "forte" del risultato ottenuto con mezzi babbei del mio post precedente, avrei continuato dicendo che non essendoci appunto zeri reali, non avrò, nell'eventuale scomposizione, coefficienti tipo $ t + a $ e di conseguenza nemmeno coefficienti $ t^3 + at^2 + bt +c $

A questo punto effettuerei la divisione tra il polinomio iniziale e $ t^2 + at + b $ imponendo che il resto sia zero, ma quando vado a trattare il resto mi viene un obbrobrio di sistema...

@andreac: sarebbe un modo fico per dire modulo 11

Suvvia, il sistemino non viene poi così brutto. Per quanto argomentato prima sull'assenza di radici reali, e per il lemma di Gauss, rimane da escludere una scomposizione a coefficienti interi del tipo $ t^4+t^3+10t^2-4t+24=(t^2+at+b)(t^2+ct+d) $, cioè, svolgendo i prodotti, rimane da dimostrare che il sistema di equazioni
$ \begin{cases}a+c=1\\ b+ac+d=10\\ ad+bc=-4\\ bd=24 \end{cases} $
non ha soluzioni intere. A meno di scambiare il primo fattore col secondo, possiamo assumere che $ b\leq d $, e quindi dalla quarta equazione ci sono solo 8 possibilità per la coppia $ (b,d) $; ognuna di queste, sostituita nella prima e nella terza, dà un sistemino lineare 2x2 da risolvere in $ a,c $, e solo in un caso $ a,c $ risultano essere interi, ma quest'unica soluzione non risolve la seconda equazione.

Anche io avevo impostato questo sistema giungendo alla tua stessa soluzione. Quindi mi pare di capire che dato che non può essere scomposto come prodotto di trinomi o prodotto di binomi il polinomio di partenza sia scomponibile in $R$... o sbaglio?