Guarda, io ho fatto così: sinceramente di calcolarmi l'hessiana direttamente non mi sembrava leale, ma ho dimostrato che
1. Se \(f(x_1, \ldots, x_n) \) è convessa, lo è anche \( 1/f(x_1, \ldots, x_n) \) ;
2. Se \( f(x_1, \ldots, x_{n-1} ) \) è convessa, lo è anche \( x_n + f(x_1, \ldots, x_{n-1}) \).
Queste cose l'ho verificate dicendo: ehi se prima l'hessiana era semidefinita positiva lo è anche adesso (se non lo hai mai sentito è tipo troppo più facile di quanto sembra e me ne sono stupito anche io l'altro giorno). Però, forse ( e qui invoco il quartier generale anche io), esiste un nome a questi fatti, che in fondo non sono così assurdi.
Perciò per induzione:
a) \( f_1(x) = 1/x\) è convessa;
a) \( f_n(x_1, \ldots, x_n) = x_1 + 1/f_{n-1}(x_2, \ldots, x_n) \)
Per il fatto di "congelare" le variabili ti posso rispondere che no, non basta che sia convessa in entrambe le variabili.
Prendi \( f(x,y) = a x^2 +bxy+cy^2\) con \(a,c >0\): in entrambe le variabili la derivata seconda è positiva, ma facendo i conti con l'hessiana esce che
se il \(\Delta\) è maggiore di 0 allora la funzione non è convessa. Se vuoi i calcolozzi li posto