OliForum Matematico

Own. Per ogni \(a,b,c \in \mathbb{R}^+\) tali che \(a+b+c = 3\), dimostrare che

\( \displaystyle \sum_{cyc} \frac{abc+a+c}{bc+1} \ge \frac{9}{2} \)

Lo sai, vero, che questa roba si può omogenizzare, e ne verrebbe uno scempio senza precedenti (che suppongo porti alla conclusione)? E che sarei tentato di farlo?

Se non vuoi diventare pazzo / dimezzare la foresta amazzonica, forse ti conviene cercare un'altra via. Ti dico che una dimostrazione elementare c'è, e non usa praticamente nessuna disuguaglianza.

Oook risolta, la scrivo stasera o domani mattina (sempre che non arrivi qualcuno prima di me)

Aspetto con ansia la soluzione di vossignoria

Allora, credo di averlo risolto con solo AM e GM...
$$\sum_{cyc}a+\frac{c}{bc +1}\geq 3+ \sum_{cyc}\frac{c}{\frac{1}{a}+1}=3+\sum_{cyc}\frac{ac+c}{a+1}-\sum_{cyc}\frac{c}{a+1}=6-(\sum_{cyc}\frac{c+1}{a+1})+\sum_{cyc}\frac{1}{a+1}$$ $$\geq3+\sum_{cyc}\frac{1}{a+1} \geq 3+\frac{3}{[(a+1)(b+1)(c+1)]^{1/3}}\geq3+3/2=\frac{9}{2}.$$
allora abbiamo usato $ abc \leq1$ per GM-AM e $[(a+1)(b+1)(c+1)]^{1/3}]\leq2$ sempre per GM-AM usata nel penultimo passaggio.

Mi sfugge il passaggio in cui usi
\(\displaystyle \sum_{cyc}\frac{c+1}{a+1} \le 3\)
Se tipo uno è quasi 3 e gli altri quasi 0, quella quantità è quasi 4 ... Per il resto mi pare funzionare, dimmi se ho capito male!

No....mi sono accorto stamattina che quella cosa che ho usato è sbagliata e ho corretto in altro modo che credo scriverò stasera perché ora sono col tablet e per di più ho problemi con archlinux...comunque mi farò vivo entro oggi....

Va beh lo scrivo ora...
Mostriamo che
$$\sum_{cyc}\frac{c+1}{a+1}\leq a+b+c$$ ovvero$$\sum_{cyc}\frac{ab}{b+1}\geq \sum_{cyc}\frac{1}{b+1}.$$
Noto che per chebychev (non sono come si scrive) si ha $3(ab+bc +ca) \geq (a+b+c)(b+c+a)$ quindi $ ab+bc + ca\geq a+b+c$
.Ora applicando nuovamente chebychev alla prima disuguaglianza si ha$$3( \sum_{cyc}\frac{ab}{b+1})\geq (\sum_{cyc}\frac{1}{b+1})(\sum_{cyc}ab)\geq3(\sum_{cyc}\frac{1}{b+1})$$

Sono un po' tonno, però non capisco perchè le prime due formulazioni sono uguali. Anche perchè se \(a=b=c=0\) a sinistra ho 3, a destra ho 0.

perchè li ho ragruppati in modo diverso: $a,b,c$ li ho sottratti rispettivamente alle frazioni che avevano $a,b,c$ al numeratore e sicvome a tutte compariva dopo i conti un -1, quello l'ho portato a destra...torna?

Ok, quello adesso mi è chiaro. Però attento: per usare chebycheff (neanche io so come si scrive), le terne devono essere ordinate allo stesso modo, mentre non lo sono nè
\( (a,b,c) \ \ \ (b,c,a) \)
nè
\( (ab,bc,ca) \ \ \ (1/(b+1), 1/(c+1), 1/(a+1) ) \)
Infatti la terna dei prodotti a coppie è ordinata come \( ( 1/(c+1), 1/(a+1), 1/(b+1) ) \): l'ordinamento di mantiene sia dividendo per \(abc\), sia aggiungendo 1 a tutti i denominatori.

matty96 ha scritto: Noto che per chebychev (non sono come si scrive) si ha $3(ab+bc +ca) \geq (a+b+c)(b+c+a)$ quindi $ ab+bc + ca\geq a+b+c$

Il fatto è che per usare Chebycheff (che se vuoi fare il figo puoi scrivere in cirillico come Чебышев) devi avere la condizione che le $n$-uple siano ordinate nello stesso modo, ovvero che $ a\geq b \geq c $ e $ b\geq c \geq a $ (o viceversa), ma ciò vale sse $a=b=c$. Poi per usare Chebycheff al contrario devi avere le condizioni invertite (cioè i $\geq$ in una n-upla e i $\leq$ in un'altra).


EDIT: preceduto da gottinger che ha perso <.<

Visto che non è uscita una dimostrazione e una settimana è passata, posto la mia soluzione. Detto \(s=S/3=1\), riscriviamo il testo come:
\(\displaystyle \frac{1}{3} \left ( \sum_{cyc} a+\frac{1}{b+\frac{1}{c} } \right ) \ge s + \frac{1}{s+\frac{1}{s} } \)
Di fatto \( ( a+b+c)/3 = s\), perciò rimane
\( \displaystyle \frac{1}{3} \left ( \sum_{cyc} \frac{1}{b+\frac{1}{c} } \right ) \ge \frac{1}{s+\frac{1}{s} } \)
Purtroppo mi sono perso la dimostrazione con \(AM-HM\) (e non mi esce più) del fatto che vale Jensen in due variabili su \(f(x,y) = \frac{1}{x+\frac{1}{y} } \) partendo dal fatto che vale su \( f(x) = 1/x\) , ma comunque si può dimostrare che è convessa, e perciò vale
\( \displaystyle \frac{1}{3} \left ( \sum_{cyc} \frac{1}{b+\frac{1}{c} } \right ) \ge \frac{1}{ \frac{1}{3} \sum_{cyc} b+ \frac{3}{\sum_{cyc} c} } = \frac{1}{s+\frac{1}{s} } \)

Non ho capito: perché se è convessa assume il minimo proprio lì?