Radicali Russi

[Lasker]

Risolvere nei reali l'equazione:
$$x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$$
Sperando che il problema non sia già passato sul forum di recente/sia notissimo .

[andreac]

C'è qualche modo non brutto/non contoso?
Tolta l'ovvia $ x=1 $, mi sono arreso a fare i conti, come al solito mi riduco a testare i soliti:

Testo nascosto:

$ x^2 \pm x +\mp 1 $
e per fortuna ne salta fuori una quasi subito, altrimenti avrei lasciato lì.

e poi mi ritrovo con una robaccia di sesto grado

Quindi al momento sono a

Testo nascosto:

$ (x - 1)(x^2 + x - 1)(x^6 + 2x^4+2x^3+4x^2+2x+1) $

con cui magari mi ci metto più tardi...

[totissimus]

\( x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9=(x^3+1)^2+2x^4+3x^2+(x+1)^2+7>0\) \( \forall x \in \mathbb{R}\)

[Lasker]

@andreac: Visto che è stato richiesto, hinto in hide:

Testo nascosto:

Il modo furbo (o, se preferite, non troppo contoso...) c'è, basta considerare la sostituzione:
$$\frac{x^3+1}{2}\longrightarrow y$$
E fare qualche considerazione sul sistema di due equazioni che ne viene fuori...