82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da jordan » 19 dic 2013, 23:44

Assumendo la benedizione di scambret per l'81:

Trovare tutti i polinomi $p(x,y) \in \mathbb{R}[x,y]$ tali che $p(x,y)=p(x+y,x-y)$ per ogni $x,y \in \mathbb{R}$.
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da maurizio43 » 22 dic 2013, 20:28

Mi sa che sto facendo un po' di "casotto" , però te lo voglio lo stesso sottoporre .

Consideriamo prima il caso di $p(x,y)$ di 2° grado :

La forma più completa dovrebbe essere :
(1)$p(x,y)= ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f$ che va confrontato con :
(2)$q(x,y)=p(x+y,x-y)=a(x+y)^2+b(x-y)^2+c(x+y)(x-y)+d(x+y)+e(x-y)+ f)$

Se(1) deve essere identicamente = (2) , dovranno esserlo anche le rispettive derivate prime e seconde (sia fatte rispetto ad $x$ che rispetto a $y$) ,
nonchè le derivate miste , le quali si esprimono come :
(3)$p_x=2ax+cy+d $ ; $ p_y= 2by+cx+e $ ; $ p_{xy}=c $ ; $ p_{xx}=2a $ ; $ p_{yy}=2b $
(4)$q_x=2(a+b+c)x+2(a-b)y+d+e $ ; $ q_y=2(a+b-c)y + 2(a-b)x +d-e $ ; $ q_{xy}=2(a-b) $ ; $q_{xx}=2a+2b+2c $ ; $q_{yy}=2a+2b-2c $

da $q_{yy}=p_{yy}$ si ricava $a=c$ e da $q_{xx}=p_{xx}$ si ricava $b=-c$ ; mentre considerando $q_{xy}=p_{xy}$ si ricava $c=2a-2b$ , da cui $a=2b$ , ovvero $a=-2c$ .
Ma allora deve essere : $a=b=c=0$ , e , inserendo tali valori nella uguaglianza tra la (1) e la (2), si ricava anche che $d=e=0$ .

Quindi il polinomio di secondo grado si riduce alla costante $f$ : per il grado $n=2$ la tesi è smentita .

Caso dei polinomi di grado superiore a $2$.

Ogni polinomio di ordine $n$ completo in $x$ e $y$ contiene un polinomio di ordine $2$ sommato ad altri termini di ordine superiore.
Dovrebbe non essere una scorciatoia scorretta dire che siccome le parti del 2° ordine non possono essere identicamente uguali tra loro per ogni $x$ e $y$ ,
anche gli interi polinomi non lo sono .

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jordan
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da jordan » 23 dic 2013, 17:12

Allora, hai implicitamente utilizzato il seguente fatto:

" Dati due polinomi $p,q \in \mathbb{R}[x]$ tali che $p(x)=q(x)$ per infiniti $x$ (o meglio, per almeno un numero "sufficientemente" grande di reali distinti $x$) allora $p=q$".

Come lo dimostri?

Ora, quello che stai utilizzando è la sua "generalizzazione" in due variabili. Mi spiego meglio, a te servirebbe che:

"Se $p(x,y)=q(x,y)$ per ogni valore di $x,y$ allora $p=q$".

In questo modo potresti davvero porre l'uguaglianza dei coefficienti (e anche delle derivate parziali, qualunque esse siano) e arrivare alla conclusione, almeno per caso in cui $\text{deg}(p) \le 2$.
maurizio43 ha scritto:Dovrebbe non essere una scorciatoia scorretta dire che siccome le parti del 2° ordine non possono essere identicamente uguali tra loro per ogni $x$ e $y$ ,
anche gli interi polinomi non lo sono .
Questo è falso: chi ti dice che i termini di ordine maggiore non "compensino" gli errori quando i due polinomi di grado $\le 2$ non sono uguali?
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da maurizio43 » 24 dic 2013, 01:20

Sono un po' confuso. :?
jordan ha scritto:Allora, hai implicitamente utilizzato il seguente fatto:
" Dati due polinomi p,q∈R[x] tali che p(x)=q(x) per infiniti x (o meglio, per almeno un numero "sufficientemente" grande di reali distinti x) allora p=q".
Come lo dimostri?
Ora, quello che stai utilizzando è la sua "generalizzazione" in due variabili. Mi spiego meglio, a te servirebbe che:
"Se p(x,y)=q(x,y) per ogni valore di x,y allora p=q".
Come in vita mia ho sempre dato per scontato che per 2 punti passa una e una sola retta, per 3 punti non allineati passa uno e un solo piano , per 3 punti non allineati passa una e una sola circonferenza, per 4 punti non complanari passa una e una sola sfera, così ho sempre dato per scontato che perchè due polinomi siano uguali ,
essi devono passare per gli stessi punti, e perchè passino per gli stessi infiniti punti devono avere gli stessi coefficienti.
Non mi dire che ho sempre vissuto in un mondo di fiaba... :)
jordan ha scritto: Mi spiego meglio, a te servirebbe che: "Se $p(x,y)=q(x,y)$ per ogni valore di $x,y$ allora $p=q$".
Scusami, ma scrivere $p(x,y)=q(x,y)$ per ogni $x,y$ e scrivere $p=q$ non è più che una tautologia (a meno di banali e scontate semplificazioni algebriche ) ?
jordan ha scritto: In questo modo potresti davvero porre l'uguaglianza dei coefficienti (e anche delle derivate parziali, qualunque esse siano) e arrivare alla conclusione, almeno per caso in cui $\text{deg}(p) \le 2$.
Scusami ancora , ma se due polinomi sono uguali, vuol dire che sono identiche le superfici con cui essi possono essere rappresentati.
E quindi sono identiche anche le varie pendenze dei piani tangenti alle superfici , nonchè le pendenze delle curve intersezione tra tali superfici e i vari piani paralleli a $xz$ o a $yz$ , cioè devono essere identiche le varie derivate in ogni punto ($x,y)$ .
jordan ha scritto:Maurizio ha scritto : Dovrebbe non essere una scorciatoia scorretta dire che siccome le parti del 2° ordine non possono essere identicamente uguali tra loro per ogni $x$ e $y$ , anche gli interi polinomi non lo sono .
Questo è falso: chi ti dice che i termini di ordine maggiore non "compensino" gli errori quando i due polinomi di grado $\le 2$ non sono uguali?
E qui la mia argomentazione è un po' debole, d'accordo. Però pensare che con i termini di primo e secondo grado i polinomi differiscono, e con gli altri termini di grado superiore i polinomi compensano ( e questo per ogni $x$ e $y$ ! ) mi lascia scettico.
Ma non dovrebbe essere dimostrabile il contrario ? (magari dapprima con la sola aggiunta dei termini di terzo grado, e poi via via )

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jordan
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da jordan » 24 dic 2013, 08:46

Facciamo un punto per volta:
maurizio43 ha scritto:Non mi dire che ho sempre vissuto in un mondo di fiaba... :)
No, tranquillo: il fatto che dati due polinomi a caso $p,q$ tali che $p(x)=q(x)$ per ogni $x$ implica $p=q$ è vero. Pero', bisognerebbe un attimo dimostrarlo. Una strada è dire che asintoticamente devono avere lo stesso grado e stesso coefficiente direttivo, diciamo $g(x):=ax^d$, e visto che la tesi vale anche per i polinomi $p-g, q-g$ allora in un numero finito di passi arriviamo a $p=q$. Il problema è che:
1) Se non sbaglio questo ragionamento non funziona per polinomi in piu' di una variabile (o almeno sono ancora troppo addormentato per vederla..)
2) Esiste una versione molto piu' forte, conosciuta come Combinatorial Nullstellensatz, che nel caso a una variabile diventa semplicemente
"Dati due polinomi $p,q \in \mathbb{R}[x]$ tali che $p(x)=q(x)$ per almeno $\max\{\text{deg}(p)+1, \text{deg}(q)+1\}$ reali distinti $x$, allora $p=q$".
Iniziamo con questa? :wink:
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da FrancescoVeneziano » 24 dic 2013, 11:58

Dunque, il fatto che polinomi che coincidono per tutti i valori siano mo stesso polinomio è una cosa che, nel contesto di questo problema, puoi certamente dare per scontata (non si chiede certo di ridimostrare tutta la matematica dagli assiomi), però è importante avere in mente che *non è* una tautologia.
Per capire immediatamente che non è un'affermazione vuota si può pensare a casi più "esotici" in cui è falsa (per esempio il caso in cui i coefficienti del polinomio siano classi di resto), oppure puoi pensare all'affermazione simile, che due polinomi che coincidono per infiniti valori delle variabili sono uguali, che è vera per polinomi di una variabile ma falsa per polinomi in più variabili (qui mi riferisco, per esempio, a coefficienti reali).

Comunque questo non è molto rilevante ai fini del problema.

Ragionare sui gradi è un'ottima idea, ma il modo in cui volevi concludere non funziona, e non perché ci possa essere cancellazione con i gradi superiori.
Un'osservazione chiave, che non hai mai fatto esplicitamente, ma mi sembra che tu abbia chiara, è che la sostituzione è omogenea, mandando sia x che y in polinomi omogenei di primo grado. Questo implica che ogni monomio di grado k venga mandato in un polinomio omogeneo di grado k, e non può quindi esserci nessuna cancellazione tra termini di grado diverso. In effetti se riguardi quello che hai fatto tu per un polinomio di grado 2, vedrai che i coefficienti a,b,c non si mescolano mai con d,e, che non si mescolano mai con f, e il sistema che ottieni in realtà è formato da tre sistemi distinti che coinvolgono variabili distinte, uno con a,b,c, uno con d,e, ed uno con la sola f.

Ma attenzione, dal fatto che non ci possa essere cancellazione tra gradi distinti, non puoi certo concludere. Quello che hai dimostrato è che un polinomio come quello richiesto dal problema non può avere termini di grado 1, né di grado 2, ma nulla vieta che ci siano termini di grado 3 che si cancellino tra di loro.

Ragionare sui gradi, però, è tutt'altro che inutile. Sapere che la cancellazione può solo avvenire tra termini dello stesso grado ci permette di assumere l'ipotesi aggiuntiva che il polinomio sia omogeneo.
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da maurizio43 » 24 dic 2013, 15:02

Ringrazio sia Jordan che Francesco Veneziano.
In realtà anzichè di "più che una tautologia" avrei dovuto parlalare di "assioma" , ma la notte tarda mi aveva consistentemente ridotto le mie facoltà di lucidità (che già diurne non sono un gran che :wink: )

Possiamo allora, intanto, dare come assioma l' affermazione che se $p(x)=q(x)$ per ogni $x$ allora sono lo stesso polinomio ?
E possiamo dare lo stesso assioma nel caso di polinomi in $2$ (o più) variabili ?

Vedete, io penso a un polinomio come a una curva o a una superficie, e affermare che anche se tutti i punti della curva o della superficie sono gli stessi è da dimostrare che i polinomi siano gli stessi , mi toglierebbe certezze e tranquillità e dovrei spender soldi per uno psicanalista ! :)

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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da ndp15 » 24 dic 2013, 16:37

maurizio43 ha scritto:Vedete, io penso a un polinomio come a una curva o a una superficie, e affermare che anche se tutti i punti della curva o della superficie sono gli stessi è da dimostrare che i polinomi siano gli stessi , mi toglierebbe certezze e tranquillità e dovrei spender soldi per uno psicanalista ! :)
Penso che uno dei problemi sia il fatto che tu pensi ai polinomi come funzioni, e qui è chiaro che dire che due polinomi sono gli stessi se e solo se assumono gli stessi valori in ogni punto è ovviamente vero. In realtà si definisce polinimo una scrittura del tipo $ \displaystyle \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j $ dove gli indici variano su un numero FINITO di naturali e i coefficienti appartengono a qualche insieme con belle proprietà (ad esempio $ \mathbb{R} $)* (ho fatto il caso di polinomi in due variabili, ovviamente si generalizza a polinomi in un numero qualsiasi di variabili). Questa scrittura può poi essere vista come funzione ed essere valutata in vari punti (ad esempio di $ \mathbb{R}^2 $), ma può benissimo capitare, come detto da FrancescoVeneziano, che in certi ambiti due polinomi differenti identifichino la stessa funzione.

*chiaramente non è una definizione rigorosa, però prendetela per buona perlomeno in ambito olimpico dato che non mi va di spiegare quali sono le belle proprietà che deve soddisfare l'insieme in cui vivono i coefficienti e rendere più formale tutto il resto...

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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da jordan » 24 dic 2013, 22:34

Grazie Francesco, molto chiaro :) Proviamo col resto della dimostrazione?
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da maurizio43 » 25 dic 2013, 00:04

ndp15 ha scritto:In realtà si definisce polinomio una scrittura del tipo $\displaystyle \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j$ , dove gli indici variano su un numero FINITO di naturali e i coefficienti appartengono a qualche insieme con belle proprietà (ad esempio R)*
Sarà un limite della mia personalità, ma una scrittura del tipo $\displaystyle \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j$ mi sembra che posso sempre pensare di rappresentarla in una terna cartesiana $xyz$, associando ad ogni coppia di valori $ x,y $ un punto del piano $ xy $ , e considerando per ognuno di questi punti la quota $z=\displaystyle \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j$ ; e ne risulta la superficie rappresentativa del polinomio ; o no ? :wink:

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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da maurizio43 » 25 dic 2013, 01:41

Mi pare che anche i soli termini di grado $3$ non si annullano fra loro.
Infatti se indichiamo con (1) e (2) , rispettivamente :
(1) $ax^3+by^3+cx^2y+dxy^2$
(2) $a(x+y)^3 + b(x-y)^3 +c(x+y)^2(x-y)+d(x+y)(x-y)^2$
pare che la differenza (1) - (2) si annulli solo se
(3) $a=b=c=d = 0$ .
Cioè se poniamo :
(4) $[ ax^3+by^3+cx^2y+dxy^2 ] - [ x^3(a+b+c+d)+y^3(a-b-c+d) + x^2y(3a-3b+c-d) + xy^2(3a+3b-c-d)] = 0$
Si ricava :
(5) $x^3(b+c+d)+y^3(a-2b-c+d)+x^2y(3a-3b-d)+ xy^2(3a+3b-c-2d) = 0 $
e questo per ogni $x$ e ogni $y$ . In particolare :
Per $y=0$ ne consegue $b+d+c=0$
Per $x=0$ ne consegue $a-2b-c+d=0$
Per $x=y$ ne consegue $7a-2b-c-d=0$
Per $x=-y$ ne consegue $2a+9b+c-d=0$
E il sistema delle 4 ultime equazioni in $a,b,c,d$
dà come soluzione : $c=-4d$ ; $b=3d$ ; $a=-11d$ e infine $-77d-6d+4d-d=0$
Cioè $a=b=c=d=0$ .
--------------------------------------
(Ho dato qualche indicazione sul mio compitino, nel caso avessi fatto qualche errore )
Naturalmente non possiamo passare la vita a calcolare qualcosa di analogo per i soli termini di grado 4 , per quelli di grado 5 e così via .
Bisognerà che qualcuno trovi una condizione di sintesi più generale ( Dopo le feste... :) )

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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da Gottinger95 » 25 dic 2013, 11:04

Oddio, non vorrei aver preso un abbaglio:

\(\displaystyle y \leftarrow 0: \ \ \sum_{i} a_{i0} x^i = \sum_{i,j}a_{ij}x^{i+j} = \sum_{i} a_{i0} x^i + \sum_{i} \sum_{j>0} a_{ij} x^{i+j} \)
Visto che sono uguaglianze tra polinomi, possiamo concludere che \(a_{ij} = 0\) per \(j>0\), ossia che \(y\) non compare. Ci riduciamo a
\( p(x) = p(x+y)\), da cui con \(x \leftarrow 0\), \(p\) deve essere costante.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da jordan » 25 dic 2013, 19:28

Gottinger95 ha scritto:$$\sum_{i} a_{i0} x^i = \sum_{i,j}a_{ij}x^{i+j} $$
A panza per aria del pranzo-cena di Natale: perchè?
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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da Gottinger95 » 25 dic 2013, 20:28

Se il mezzo polpettone con il filadelfia non mi ha abbottato troppo, quello dovrebbe essere \(p(x,0) = p(x,x) \): a sinistra compaiono solo i termini che contengono la \(x\) (che gli altri vengono spazzati via da \(y=0\) ); a destra invece di esserci \(x^i y^j\) c'è \(x^i x^j\), perchè all'argomento \(y\) c'è la \(x\). O sbaglio?
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

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Re: 82.$p(x,y)=p(x+y,x-y)$

Messaggio da jordan » 25 dic 2013, 21:44

Sì, perfetto. La mia soluzione era un po' diversa, passava per
$$p(x,y)=p(x+y,x-y)=p(2x,2y)=\ldots=p(2^nx,2^ny)$$
per ogni intero $n$, e da qui si aveva la stessa conclusione in un attimo. Vai col prossimo quando vuoi!
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