L'n-esima funzionale

[NicolasRossi]

Trovare $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tali che
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x) \cos y$ per ogni $x,y$ reali.

[maurizio43]

$ f(x)=\sin x $
infatti :
$ \sin{(x+y)} = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \sin{(x-y)} = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

$ \sin{(x+y)} +\sin{(x-y)} = \sin x \cos y + \cos x \sin y + \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \sin{(x+y)} +\sin{(x-y)} = 2 \sin x \cos y $

[NicolasRossi]

Non ti sembra troppo facile così? Chi ti dice che non ce ne sono altre? Non andrebbe dimostrato?
Poi vale anche $f(x)= \cos x$.


Btw-domanda stupida e offtopic- non ho mai capito se in una equazione funzionale, le funzione seno e coseno sono la stessa soluzione o no. Per esempio nell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico le consideriamo la stessa soluzione, possiamo farlo sempre? dovremmo farlo sempre? solo nelle equazioni differenziali?

[fph]

Btw-domanda stupida e offtopic- non ho mai capito se in una equazione funzionale, le funzione seno e coseno sono la stessa soluzione o no. Per esempio nell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico le consideriamo la stessa soluzione, possiamo farlo sempre? dovremmo farlo sempre? solo nelle equazioni differenziali?

$f(x)=\sin x$ e $g(x)=\cos x$ non sono la stessa funzione. Però le due famiglie $\{f_\theta: x \mapsto \sin(x+\theta) \mid \theta\in\mathbb{R}\}$ e $\{g_\theta: x \mapsto \cos(x+\theta) \mid \theta\in\mathbb{R}\}$ (spero si capisca la notazione) sono lo stesso insieme (perché?).

[NicolasRossi]

Perché$\forall\theta\in\mathbb{R}\exists\phi\in\mathbb{R} t.c. \sin \theta= \cos \phi$ e viceversa?

[fph]

Quasi. Ti serve che $\forall \theta\,\, \exists \phi$ tale che $\sin(x+\theta)=\cos(x+\phi)\,\, \forall x\in\mathbb{R}$ (nota che $\phi$ non può dipendere da $x$ --- ti serve scegliere una costante di "shift" che vada bene per tutti i valori della $x$ in un colpo solo). E in particolare $\phi=\theta-\frac{\pi}{2}$ dovrebbe andare bene.

(by the way, spero che l'osservazione che quelle due famiglie sono uguali sia la risposta alla tua domanda --- altrimenti temo che dovrai spiegarmi con più precisione cos'è che il vostro professore vi dice che "sono la stessa soluzione").

[NicolasRossi]

Sisi, sono io che sono stupido, non avevo considerato che

an n-th order linear differential equationhas n indipendent solutions

[fph]

Ok. Il dubbio che dovrebbe/potrebbe venirti ora però è: consideriamo l'equazione $y''+y=0$; tutte le funzioni del tipo $x \mapsto \sin (x+\theta)$ sono soluzioni. Non sono troppe? Non dovrebbero essere "solo due"? Volevo assicurarmi, anche a costo di andare OT, che tu avessi chiara la risposta a questa domanda...

[NicolasRossi]

Non sono sicuro se non ho capito la domanda o se dovrei dirti che le soluzioni dell'equazione sono delle funzioni e che $x \mapsto \sin (x+\theta)$ è solo una soluzione

[darkcrystal]

Mmmh... quello che (immagino) voleva chiederti fph è in che senso le soluzioni "indipendenti" sono solo 2, visto che - per ogni valore di $\vartheta$ - la funzione $\sin(x + \vartheta)$ è una soluzione di quella equazione differenziale, ed al variare di $\vartheta$ ottieni ben più di due soluzioni (senza contare che possono essere riscalate per costanti)
Peraltro, se non ho capito male la tua ultima risposta, quello che dici è abbastanza falso: le funzioni $\sin(x + \vartheta)$ sono ben diverse l'una dall'altra, e sono tutte soluzioni.

[NicolasRossi]

Ok, ora mi sto confondendo un po' e tutto ciò di cui ero -quasi?- convinto crolla. Io come soluzione dell'equazione scritta da fph intendevo le funzioni $y=A*\sin x + \theta$ che al variare di $x$ e per qualsiasi $\theta$ e $A$ reali vanno bene, ma evidentemente fatico ancora a capire cosa intendiate per soluzione di un'equazione differenziale.
Va beh, io avevo dato un'occhiata a questa roba solo per trovare una spiegazione a quello che ho trovato sul libro di fisica, sicuramente ci tornerò quando avrò basi un po' più solide di Analisi.

[Triarii]

Credo che si riferiscano al fatto che una equazione differenziale di grado $n$ ha $n$ soluzioni se abbiamo $n$ condizioni iniziali (Nel tuo caso A e $\phi$)

[NicolasRossi]

Sisisi, sono un cretino.
Avevo dimenticato la costante e per soluzione avevo intesto tutte le funzioni del tipo $f(\theta,A,x)=A*\sin (x +\theta)$ naturalmente senza accorgermene e considerando il $\theta$ di fph non fissato. Però poi avrei dovuto specificare rispetto a cosa derivavo etc.

Mi scuso per il tempo che vi ho fatto sprecare.

[darkcrystal]

Aaalt, fermi tutti:
- un'equazione differenziale lineare di grado $n$, fissate $n$ condizioni iniziali (che vuol dire, tipicamente, il valore in un punto $a$, il valore della derivata in $a$, il valore della derivata seconda in $a$, ..., il valore della derivata $(n-1)$-esima in $a$), la soluzione ce l'ha *unica*
- funzioni diverse (che rispettino l'equazione, beninteso) sono soluzioni diverse. Punto e basta. In particolare, per valori di $\vartheta$ diversi (e che non differiscano di multipli di $2\pi$), le funzioni $\sin(x+\vartheta)$ sono soluzioni diverse.
- l'equazione $y''+y=0$ ha come soluzioni tutte e sole quella forma $A\sin(x)+B\cos(x)$ con $A,B$ costanti reali
- quello a cui fph ed io stavamo cercando di farvi arrivare (forse maldestramente?) è che le funzioni $\sin(x+\vartheta)$ sono di quella forma per via dell'identità $\sin(x+\vartheta)=\cos(\vartheta)\sin(x)+\sin(\vartheta)\cos(x)$ (in particolare prendendo $A=\cos(\vartheta), B=\sin(\vartheta)$, che sono costanti)

In tutto questo, c'è ancora il problema di trovare tutte le soluzioni dell'equazione iniziale!

[Triarii]

Quindi volevate dire che dire $\sin (x+\vartheta )$ è equivalente alla scrittura $A\sin x +B\cos x $e viceversa (per opportuni valori delle costanti) e che quindi sono la stessa soluzione?
Chiedo scusa se ho peggiorato la situazione con un post impreciso