$$27+9a+3b+42=0$\Rightarrow 3a+b=-23$$
Dall'altra equazione si ottiene il sistema:
$3a+b=-23$
$ab=5\sqrt{7}+21$
Risolvo per sostituzione:
$a(-23-3a)=5\sqrt{7}+21\Rightarrow 3a^2+23a+5\sqrt{7}+21=0$
Questa è una quadratica per $a$, che ci darà come soluzioni:
$$a_{1,2}=\frac{-23\pm\sqrt{23^2-4\times 3\times(5\sqrt{7}+21)}}{6}=\left\{\sqrt{7}-\frac{14}{3},-3-\sqrt{7}\right\}$$
Adesso sostituiamo a $\sqrt{7}$ la sua approssimazione decimale, ottenendo:
$a_{1,2}=\left\{-2.01\overline{6},-5.65\right\}$
Da questi possiamo ricavare i valori di $b$ associati sostituendo nella prima equazione:
$b_{1,2}=(-16.95,-6.05)$
Da qui si verifica facilmente a mano che $min|a+b|=|a_2+b_2|=11.70$
Dunque (se non ho fatto errori concettuali o di conti
) la risposta è $1170$.