OliForum Matematico

Un esercizio che abbiamo fatto oggi in classe diceva di verificare che $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x-1}{x}=2$, tramite la definizione (quindi quella menata più finita con gli intorni di 2 che per qualche motivo piace tanto alla mia profe anche in questi casi palesi), quindi, dopo qualche passaggio diventa diventa:
$\displaystyle|-\frac{1}{x}|<\epsilon$

La mia profe procede quindi alla risoluzione facendo:
$\displaystyle\frac{1}{|x|}<\epsilon$

Rimuove il modulo al denominatore perchè stiamo studiando $x\to\infty$ quindi è sicuramente positiva ed arriva a $\displaystyle x>\frac{1}{\epsilon}$

Io, non essendomi accorto che il modulo si poteva eliminare così comodamente la risolvo come tutte le disequazioni del genere e ottengo:
$\displaystyle -\epsilon<-\frac{1}{x}<\epsilon$
$\displaystyle -\frac{1}{\epsilon}>-x>\frac{1}{\epsilon}$
Dividendo il tutto in 2 disequazioni mi viene un sistema fra $\displaystyle x<-\frac{1}{\epsilon}$ e $\displaystyle x>\frac{1}{\epsilon}$, che è chiaramente impossibile.

Tuttavia la mia profe non ha trovato nessun errore nella mia soluzione , e a me non pare di aver fatto errori di calcolo quindi direi che ho fatto un errore logico in un qualche passaggio, qualcuno sa dirmi cosa sto sbagliando?

Non ti viene un sistema ma devi prendere l'unione dei due intervalli di soluzione. In ogni caso non è questo il forum dove parlarne

Probabilmente questo non è il forum giusto dove parlarne, ma il problema centrale mi sembra un altro: da $-2 < 2$ non segue $-1/2 > 1/2$! Quando prendi gli inversi di entrambi i membri di una disuguaglianza ed i due membri hanno segno opposto, il verso della disuguaglianza non si gira. Questo accade perché $x \mapsto 1/x$ cambia l'ordine dei positivi tra loro e l'ordine dei negativi tra loro, ma non scambia $\mathbb{R}^+$ e $\mathbb{R}^-$.

Boh, la descrizione del forum diceva "disuguaglianze" allora la ho messa qua, in effetti mi sa che il problema sta in quella inversione, non so come abbia fatto a non vederlo :S