$f \in \mathbb{Z}$ sse $g \in \mathbb{Z}$

[jordan]

hai ragione, Gi8: adesso ho sistemato.

Fico, i Site Admin possono modificare senza che si veda la modifica :O

Qualcuno che risolve il suo rilancio? L'idea di base non cambia..

[Gi8]

Siano $f,g$ due polinomi non costanti tali che $f(x)$ è intero se e solo se $g(x)$ è intero. Mostrare che uno dei due tra $f-g$ e $f+g$ è una costante intera.

Siccome $f(x)$ è un polinomio non costante, si ha $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = + \infty$ oppure $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = - \infty$. La stessa cosa vale per $g(x)$.

Sono possibili pertanto quattro casi:

• [1] $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = + \infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = + \infty$;
  [2] $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = + \infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = - \infty$;
  [3] $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = - \infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = + \infty$ ;
  [4] $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = - \infty$ e $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = - \infty$ .

Risolvo il Caso [1] (gli altri sono simili):
$\displaystyle \exists a_f \in \mathbb{R}\ : \ \forall x \in [a_f, + \infty ) \ \ f'(x)>0$; $\displaystyle \qquad \exists a_g \in \mathbb{R}\ : \ \forall x \in [a_g, + \infty ) \ \ g'(x)>0$;
Sia $a$ il massimo tra $a_f$ e $a_g$. Quindi in $[a, +\infty)$ entrambi i polinomi hanno derivata prima positiva.
Dunque in $[a, +\infty) \quad f$ assume tutti i valori reali tra $f(a)$ e $+\infty$ e $g$ assume tutti i valori tra $g(a)$ e $+\infty$.

Quindi esiste una successione $\displaystyle (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tale che $a \leq a_0 < a_1 < a_2 < \ldots a_n < a_{n+1} < \ldots$ e $\forall n \in \mathbb{N}$ si ha $f(a_n) \in \mathbb{Z}$ e $f(a_{n+1})= f(a_n)+1$.
Dunque $f(a_n)=f(a_0)+n$. Inoltre, posto $A:= \{a_0,a_1 , \ldots, a_n, \ldots\}$, per ogni $x \in [a, + \infty)\setminus A$ vale $f(x) \notin \mathbb{Z}$.

Analogamente esiste $\displaystyle (b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tale che $a \leq b_0 < b_1 < b_2 < \ldots b_n < b_{n+1} < \ldots$ e $\forall n \in \mathbb{N}$ si ha $g(b_n) \in \mathbb{Z}$ e $g(b_{n+1})= g(b_n)+1$.
Dunque $g(b_n)=g(b_0)+n$. Inoltre, posto $B:= \{b_0,b_1 , \ldots, b_n, \ldots\}$, per ogni $x \in [a, + \infty)\setminus B$ vale $g(x) \notin \mathbb{Z}$.

Per l'ipotesi si ha $A=B$. Posto $h(x):= f(x)-g(x) - f(a_0) +g(a_0) \in \mathbb{R}[x]$,
si ha $h(a_n)= f(a_n)-g(a_n)-f(a_0)+g(a_0)= n-n=0$, ovvero $h$ è un polinomio con infinite radici.
Pertanto $h(x)$ è il polinomio nullo, ovvero $f-g$ è costante.

[ma_go]

sì, era quello che avevo in mente.
in ogni caso, due piccole precisazioni:
- non occorre invocare le derivate per dimostrare che un polinomio monico (di grado positivo) è definitivamente crescente;
- per quanto riguarda la tua $h$, io trovo più elegante dire: chiamo $d$ il massimo dei gradi di $f$ e $g$, allora $h$ è un polinomio di grado al più $d$ con $d+1$ radici distinte (blah blah blah). ma forse è solo una questione di gusti.

[Gi8]

- non occorre invocare le derivate per dimostrare che un polinomio monico (di grado positivo) è definitivamente crescente;

Giusto (anche se non capisco perchè hai scritto "monico")

- per quanto riguarda la tua $h$, io trovo più elegante dire: chiamo $d$ il massimo dei gradi di $f$ e $g$, allora $h$ è un polinomio di grado al più $d$ con $d+1$ radici distinte (blah blah blah).

ok

ma forse è solo una questione di gusti.

infatti

[ma_go]

- non occorre invocare le derivate per dimostrare che un polinomio monico (di grado positivo) è definitivamente crescente;

Giusto (anche se non capisco perchè hai scritto "monico")

perché se il coefficiente di testa è negativo, non è vero. e scrivere "monico" è più corto di "il cui coefficiente di testa è positivo"

[scambret]

non occorre invocare le derivate per dimostrare che un polinomio monico (di grado positivo) è definitivamente crescente

Da dove si può passare per dimostrare questo fatto, senza tecniche di analisi?

[darkcrystal]

Considerando $P(x+1)-P(x)$ dovrebbe essere facile mostrare per induzione sul grado che ogni polinomio di grado $>0$ e termine di testa $>0$ è definitivamente positivo e crescente.