successioni e quadrati

[scambret]

Sia $a_n$ una successione tale che $a_1=3$, $a_2=11$ e

$$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$$

Dimostrare che ogni elemento della successione si può scrivere come $a^2+2b^2$ con $a$ e $b$ interi.

[totissimus]

La ricorrenza si risolve facilmente e si ottiene:
$a_n=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\left(2-\sqrt{3}\right)^{n}+\frac{3+\sqrt{3}}{6}\left(2+\sqrt{3}\right)^{n}$

Poniamo:
$\left(2+\sqrt{3}\right)^{n}=A_{n}+B_{n}\sqrt{3}$ con $A_n,B_n \in \mathbb{N}$
e quindi
$\left(2-\sqrt{3}\right)^{n}=A_{n}-B_{n}\sqrt{3}$

Otteniamo :
$a_n=\frac{3-\sqrt{3}}{6}\left( A_{n}-B_{n}\sqrt{3}\right)+\frac{3+\sqrt{3}}{6}\left( A_{n}+B_{n}\sqrt{3}\right)=\cdots = A_n+B_n$

Per $n=2m$ abbiamo:
$A_{2m}+\sqrt{3}B_{2m}=\left(2+\sqrt{3}\right)^{2m}=\left(A_{m}+\sqrt{3}B_{m}\right)^{2}=A_{m}^{2}+3B_{m}^{2}+2\sqrt{3}A_{m}B_{m}$
da cui:
$A_{2m}=A_{m}^{2}+3B_{m}^{2}$
$B_{2m}=2A_{m}B_{m}$
Quindi:
$a_{2m}=A_{2m}+B_{2m}=A_{m}^{2}+3B_{m}^{2}+2A_{m}B_{m}=\left(A_{m}+B_{m}\right)^{2}+2B_{m}^{2}$
Ragionamento analogo per $n=2m+1$ dispari