81. Sistemino coi reali

[scambret]

Trovare tutte le terne $x, y, z$ reali che risolvono il seguente sistema

$x^3 = 3x-12y+50$
$y^3 = 12y+3z-2$
$z^3 = 27z+27x$

[Lasker]

Premetto che la "soluzione" che ho trovato è orribilmente brutta, e non so neanche se sia corretta!
-Si verifica facilmente a mano che $x=2, y=4, z=6$ soddisfa il sistema iniziale; la mia speranza è che sia l'unica soluzione.
A tale scopo, studio il segno delle derivate (rispetto alla variabile in gioco) di $f(x)=x^3-3x$, $g(y)=y^3-12y$ e $h(z)=z^3-27z$.
-$f'(x)=3x^2-3$ che è negativa per $-1<x<1$, nulla in $(-1;1)$ e positiva altrimenti.
-$g'(y)=3y^2-12=0$ che è negativa per $-2<y<2$, nulla in $(-2;2)$ e positiva altrimenti.
-$h'(z)=3z^2-27=0$ che è negativa per $-3<y<3$, nulla in $(-3;3)$ e positiva altrimenti.
Suppongo adesso $x>2$: visto che la derivata è sempre positiva in questo intervallo, $f(x)$ cresce, e dunque, dalla prima equazione, $y$ deve decrescere.
Ora, studiando la terza equazione, si può dedurre (con un procedimento simile) che anche $z$ è cresciuto, infatti $h(-3)=54\leq h(6)$ ($z=-3$ non porta soluzioni accetabili, e visto che la funzione è monotona nell'intervallo $[-3,3]$, $h(-3)$ è il max dei $h(z)$ con $z\in [-3,3]$).
Ma, dalla seconda equazione (dopo aver spostato $12y$ a primo membro), se $y \not\in [-2,2]$ LHS decresce mentre RHS cresce, assurdo.
Dunque $y\in [-2,2]$.
Ora, dimostrerò che $g(4)\geq g(y) \forall y \in [-2,2]$
Questo è vero perché $g(y)$ è monotona in quell'intervallo, e $g(2)=-16<g(y)<g(-2)=g(4)=16$.
Dunque l'unico candidato rimasto in $\mathbb{R}$ come $y$ è $-2$, che però fallisce la verifica se sostituito nelle prime due equazioni. Dunque $x>2$ porta ad un assurdo!
Supponendo invece $x<2$, il ragionamento è del tutto analogo, scambiando "cresce" con "decresce".
Quindi $x=2$, che porta alla soluzione (già nota ) $x=2$, $y=4$, $z=6$.
Dunque, visto che i tre valori $x=-1$, $y=-2$, $z=-3$ non portano soluzioni accettabili, l'unica di queste è:
$$x=2, y=4, z=6$$
Spero di non aver scritto troppe cretinate .

[scambret]

Una soluzione del genere non la so correggere, se qualcuno mi da una mano..

[scambret]

Forse ho impantanato la staffetta, la soluzione di Triarii è corretta?

[jordan]

Forse ho impantanato la staffetta, la soluzione di Triarii è corretta?

Forse di Lasker xD

Ma scusa una cosa, vorresti dire che se fissiamo due funzioni derivabili $f,g$ e due reali $x,y$ tali che $f(x)=g(y)$ allora $\text{sgn}(f'(x))=\text{sgn}(g'(y))$?

[jordan]

Non seguivo piu' la staffetta in Algebra da tempo, comunque:

Sia $x:=a+2, y:=b+4, z:=c+6$ allora il sistema è equivalente a
$$\begin{cases}
a(a+3)^2=-12b \\
b(b+6)^2=3c \\
c(c+9)^2=27a.
\end{cases}$$
Ora, moltiplicando tutte le equazioni otteniamo
$$abc\left(\underbrace{(a+3)^2(b+6)^2(c+9)^2+3\cdot 18^2}_{>0}\right)=0.$$
Questo implica che almeno uno tra $a,b,c$ è nullo. Ma allora devono esserlo tutti, direttamente dal sistema, da cui l'unica soluzione $(x,y,z)=(2,4,6)$. []

[scambret]

Ovviamente è giusta

[maurizio43]

Per Jordan.
Questo tuo bel metodo serve per una verifica di una soluzione già trovata ( in quanto è come cambiare la terna cartesiana $xyz$ spostandone l'origine nel punto indagato, e verificare se la soluzione con la nuova terna cade nell'origine ). Giusto ?

[jordan]

Beh, non è esattamente una "verifica".. Diciamo che conoscere qual è una soluzione (sperando che è l'unica) puo' aiutare a trovare una strada per mostrare che non ne esistono altre: quello che è stato fatto è infatti soltanto rinominare le variabili in modo opportuno da dover mostrare che il punto $(0,0,0)$ nel piano $abc$ è l'unica soluzione del sistema, difatto equivalente all'originale. E verificare che l'origine è l'unica soluzione di un sistema è in genere piu' "facile" che verificarlo per , ad esempio, $(2,4,6)$..

[maurizio43]

E' che io, inizialmente, mi ero esaltato per la semplicità e la pulizia della soluzione,
poi mi sono reso conto che non è che si possa adottare questo metodo per risolvere un sistema ancora da studiare :
occorre utilizzare una soluzione già trovata, per confermarla o per ragionare sulla unicità.
Altrimenti si lavora su di un sistema alternativo con analoghe difficoltà .
Però per verifica e/o ricerca di unicità questo cambio di variabili è , per l'appunto, molto comodo.