funzionale da uno stage senior

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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enrico_s
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funzionale da uno stage senior

Messaggio da enrico_s » 17 set 2013, 17:25

Un giorno stavo facendo esercizi sulle funzionali, che non sono proprio il mio forte, e avevo trovato questo esercizio dal testo di uno stage senior.
Ho trovato una soluzione, però non so come dimostrare che è l'unica o come trovarne altre . Comunque il testo è

Determinare tutte le $ f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tali che

$ f(x+2y)=3x+2f(y)-4 $

per ogni coppia di numeri reali $ x $ e $ y $

scambret
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Re: funzionale da uno stage senior

Messaggio da scambret » 17 set 2013, 17:30

Testo nascosto:
$y=0$ da $f(x)=3x+2f(0)-4$, ma allora? Come si conclude?

enrico_s
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Re: funzionale da uno stage senior

Messaggio da enrico_s » 17 set 2013, 18:01

Testo nascosto:
$ x=0, y=0 $ porta a $ f(0)=4 $

y=0 allora ho $ f(x)=3x+4 $
che è quello che avevo trovato

Il mio dubbio è: in questo modo dimostro che è l'unica soluzione?

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Drago96
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Re: funzionale da uno stage senior

Messaggio da Drago96 » 17 set 2013, 18:23

Perchè in hint?

Allora, se vale per ogni $(x,y)$, allora vale in particolare per $(x,0)$ dove $x$ è un reale qualunque. Ottieni quindi $f(x)=3x+2f(0)-4 \ \ (1)$; e sì, questa è una condizione necessaria: tutte le funzioni che soddisfano la relazione di partenza devono per forza soddisfare questa.
Ora ti servirebbe capire quanto vale $f(0)$: provi con $(x,y)=(0,0)$ e ottieni un'altra condizione necessaria: $f(0)=3\cdot0+2f(0)-4$ da cui come hai detto tu $f(0)=4 \ \ (2)$.
Unendo allora $(1)$ e $(2)$ ottieni $f(x)=3x+4$, che è sempre condizione necessaria.
Bene, non ti resta che vedere se è anche condizione sufficiente (passaggio noto come "verifica delle soluzioni" che ti costa un tot di punti a seconda di quanto è stupida, generalmente 1, se è come IMO12/4 allora sono 2 o 3...)
$f(x+2y)=3x+6y+4$ e $3x+2f(y)-4=3x+6y+8-4$: sono effettivamente uguali, quindi puoi concludere che tutte e sole le funzioni che soddisfano sono (è xD) $f(x)=3x+4$!

Chiaro? ;)
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enrico_s
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Re: funzionale da uno stage senior

Messaggio da enrico_s » 17 set 2013, 18:26

Perfetto :D grazie

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Tess
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Re: funzionale da uno stage senior

Messaggio da Tess » 24 set 2013, 11:33

Drago96 ha scritto:passaggio noto come "verifica delle soluzioni" che ti costa un tot di punti a seconda di quanto è stupida, generalmente 1, se è come IMO12/4 allora sono 2 o 3...
Mah, non sono del tutto sicuro... Credo che anche in quel problema la verifica costasse 1 punto esattamente. Gli altri punti che perdevi facilmente in quel problema erano perlopiù perché non trovavi tutte o le sole funzioni soluzione!

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