In realtà è algebra

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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kalu
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In realtà è algebra

Messaggio da kalu » 03 ago 2013, 21:02

Sia $P_3$ un triangolo equilatero. Per ogni $n>3$, sia $P_n$ l'$n$-agono regolare inscritto nella circonferenza inscritta in $P_{n-1}$. Dimostrare che l'intersezione delle superfici di tutti i $P_i$ ha superficie maggiore di 0.
Pota gnari!

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<enigma>
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Re: In realtà è algebra

Messaggio da <enigma> » 03 ago 2013, 21:35

Testo nascosto:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler-Bouwkamp_constant
http://mathworld.wolfram.com/PolygonInscribing.html
http://oeis.org/A085365
Ne approfitto per far notare che l'interesse di questa costante è stato storicamente nel cercare un algoritmo efficiente per calcolarla: il prodotto infinito $\displaystyle \prod_{n=3}^\infty \cos \frac{\pi}{n}$ converge lentamente, mentre una formula più veloce (Bouwkamp) è
\[ R^{-1}=\frac {\left ( 1- \pi ^2/2+\pi^4/24\right ) (1-\pi^2/8+\pi^4/384) \cdot \pi^4/\sqrt{24}}{\sin (\pi^2/\sqrt 6+2 \sqrt 3) \sin (\pi^2/\sqrt 6 -2 \sqrt 3)} \prod _{n=3}^\infty \frac {1-\frac{\pi^2}{2n^2}+\frac{\pi^4}{24n^4}}{\cos(\pi/n)}. \]
Ultima modifica di <enigma> il 03 ago 2013, 22:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: In realtà è algebra

Messaggio da EvaristeG » 03 ago 2013, 21:40

Oh, bene, hai sputtanato un problema senza neanche postare uno straccio di soluzione ... praticamente hai detto "è non-zero perché lo dicono vari siti internet".

No beh, bravo.

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Re: In realtà è algebra

Messaggio da <enigma> » 03 ago 2013, 21:54

L'intenzione non era affatto di sputtanare il problema né di postare una soluzione quanto di fornire un'occasione di informarsi sulla costante del problema (più che sul problema stesso) a chi lo ha già risolto :P
Se mi hai redarguito perché non ho scritto niente riguardante il problema in sé, ti accontento subito!
Testo nascosto:
Arrivare a $\prod_n \cos \frac {\pi}{n}$ è un attimo, da qui per Taylor $\cos \frac \pi n>1-\frac{\pi^2}{2n^2}$ e si usa il fatto che la convergenza di $\prod_n (1+a_n)$ è equivalente a quella di $\sum_n a_n$ :D
Ultima modifica di <enigma> il 03 ago 2013, 22:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: In realtà è algebra

Messaggio da EvaristeG » 03 ago 2013, 22:29

Allora, intanto se a colpo d'occhio si sa come fare il problema, è buona norma lasciarlo a qualcuno che probabilmente ricava beneficio dal provarlo; per questi ultimi, non è invitante avere un link che dice che il problema ha nome e cognome. Le informazioni culturali, le varianti sul tema o il fatto che il problema si riconduca ad un più o meno oscuro teorema si postano dopo.

Inoltre, il problema non è che il prodotto converga, ma che converga a qualcosa di non zero, visto che i numeri coinvolti sono minori di 1.

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Re: In realtà è algebra

Messaggio da <enigma> » 03 ago 2013, 22:38

Sì, ho dimenticato la positività: in tal caso si usa
Testo nascosto:
la disuguaglianza per il coseno che ho scritto prima e $\log (1-\pi^2/2x^2)>-\pi^2/x^2$.
Metto le parti rilevanti in hide.
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