Trova tutte le $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che
$$f(x)f(y)+f(x+y)=xy$$
per ogni $x$ e $y$ reali.
Una funzionale.. Africana
Re: Una funzionale.. Africana
$x=0 \Rightarrow [f(0)+1]f(y)=0$: sicuramente $f(y)$ non può valere zero $\forall y \in \mathbb{R}$ (altrimenti l'ipotesi diventerebbe $xy=0$), per cui $f(0)=-1$
$x=1,$ $y=-1 \Rightarrow f(1)f(-1)+f(0)=-1 \Rightarrow f(1)=0$ oppure $f(-1)=0$
Primo caso: $f(1)=0 \Rightarrow$ pongo $x=1$ e ho $f(y+1)=y$, ovvero $f(z)=z-1$ $\forall z \in \mathbb{R}$
Secondo caso: $f(-1)=0 \Rightarrow$ pongo $x=-1$ e ottengo $f(y-1)=-y$, ovvero $f(z)=-z-1$
Non so, mi sembra tutto fin troppo facile..!
$x=1,$ $y=-1 \Rightarrow f(1)f(-1)+f(0)=-1 \Rightarrow f(1)=0$ oppure $f(-1)=0$
Primo caso: $f(1)=0 \Rightarrow$ pongo $x=1$ e ho $f(y+1)=y$, ovvero $f(z)=z-1$ $\forall z \in \mathbb{R}$
Secondo caso: $f(-1)=0 \Rightarrow$ pongo $x=-1$ e ottengo $f(y-1)=-y$, ovvero $f(z)=-z-1$
Non so, mi sembra tutto fin troppo facile..!
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Re: Una funzionale.. Africana
Niente da dire 