Chiarissimo, davvero una bella idea! Ecco i miei ragionamenti (attento che i vettori sono \((-1,-1)\) e \((-1,+1)\).
I punti hanno coordinate \(m,n\). \(m\) indica il numero di lanci che è stato effettuato per ottenere il numero mentre \(n\) il numero scritto sulla lavagna.
Si parte da \((0,N)\) ossia al lancio \(0\) il numero scritto è \(N\) e si arriva a \((M,0)\) ossia al lancio \(M\) il numero scritto deve essere 0.
Dal disegno si nota che viene fuori un rettangolo di misure \(N+K\), \(K\). Dove \(K = \frac{M - N}{2}\).
Dal disegno si notano entrambe le proprietà che ho descritto sopra, cioè.
Per arrivare da un punto ad un altro ci sono svariati percorsi, pertanto la probabilità di arrivare da un punto ad un altro è uguale alla probabilità de punto a cui punta il vettore pesato moltiplicato per il peso del vettore.
Poiché da un punto partono due vettori e non si possono percorrere entrambi contemporaneamente accade che la probabilità di arrivare in quel punto è la probabilità di arrivare attraverso il primo vettore più la probabilità di arrivare attraverso il secondo vettore (eventi incompatibili quindi si somma la probabilità).
In conclusione la probabilità di arrivare in un punto a partire da un punto è pari alla somma della probabilità di ciascun percorso che arriva in quel punto.
Si nota che per arrivare da un punto ad un punto, qualsiasi sia il percorso il numero di vettori dell'uno e dell'altro tipo da attraversare dipende solo dal punto di partenza e di arrivo.
Pertanto la probabilità di arrivare a \((M,0)\) partendo da \((0,N)\) è pari al peso dei vettori \((-1,-1)\) cioè \(q\) elevato al numero degli stessi, moltiplicato al peso dei vettori \((-1,+1)\), cioè \(1-q\) elevato al numero degli stessi.
In totale quindi risulta \(q^K(1-q)^(N+K)\)
Questo valore va moltiplicato per il numero dei percorsi che collegano \((0,N)\) e \((M,0)\) e dal calcolo combinatorio esso risulta essere \({n + 2k \choose n + k}\).
Si ottiene quindi lo stesso risultato di prima.
E' quello che volevi dire te giusto?
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