coefficienti vs radici di 1

[ma_go]

siano $p,q>1$ due interi coprimi.
dimostrare che il polinomio $\displaystyle P(t) = \frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}$ ha coefficienti in $\{-1,0,1\}$, e che i coefficienti non-nulli si alternano in segno.

(e sì, parte del problema consiste nel dimostrare che $P$ è effettivamente un polinomio.)

[MNE] un po' di folklore, per chi fosse interessato: il polinomio $P$ salta fuori in teoria dei nodi, ed è il polinomio di alexander del nodo torico $T_{p,q}$. e c'è una dimostrazione (altamente) delirante del fatterello elementare che propongo qui che passa per una (lunga) serie di articoli (molto tosti) pubblicati negli ultimi 15 anni... [/MNE]