PreIMO 2005

[jordan]

Ok, tra quelli sopra manca solo quello a cui mi riferivo; un poco piu' in generale:

"(a) Siano fissati dei razionali positivi $x_1,\ldots,x_n$, e siano dati dei reali non negativi $a_1,\ldots,a_n$ con somma $1$. Quanto vale al massimo \[ \prod_{i=1}^n{x_i^{a_i}}? \]
(b) Siano fissati dei razionali positivi $x_1,\ldots,x_n$, e siano dati dei reali non negativi $a_1,\ldots,a_n$ con somma $1$. Quanto vale al massimo \[ \prod_{i=1}^n{a_i^{x_i}}? " \]

[Sir Yussen]

puoi maggiorare $z^2$ con qualcosa di comodo

Dato il vincolo $0\le z\le 1$, la tua strada è sicuramente piu' intelligente! bien, trovatele entrambe..

[...]$2x^2y^2 \leq (1+xy)(x^2y^2-xy+1)$
E qui divido in due parti:
- $x^2y^2 \leq x^2y^2 - xy + 1 \Rightarrow xy \leq 1$
che è vera poichè è fissata la somma tra $x,y$ e il loro prodotto è massimo quando $x=y$;
-$x^2y^2 \leq 1+xy \Rightarrow xy(xy-1) \leq 1$
Che è di nuovo vera perchè il massimo $xy$ vale $1$, $xy$ è sempre positivo e quel prodotto diventa negativo per $xy < 1$.

Riassumiamo: sai che $0\le xy \le 1$. Hai dimostrato correttamente che \[ (xy)^2 \le (xy)^2-xy+1\text{ e } (xy)^2 \le 1+xy \]
Bene. Ora come concludi? (Sarà che ho mangiato troppo ma mi sembra che hai sommato gli LHS e moltiplicato gli RHS )

Ahahahah sono io che ho bevuto troppo mi sa!

Scompongo così..:
- $xy \leq x^2y^2 - xy + 1 \Rightarrow 0 \leq (xy-1)^2 $
- $2xy \leq xy + 1 \Rightarrow xy \leq 1$


Aaaaamen.

[jordan]

Scompongo così..:
- $xy \leq x^2y^2 - xy + 1 \Rightarrow 0 \leq (xy-1)^2 $
- $2xy \leq xy + 1 \Rightarrow xy \leq 1$

Bien!

Ps. la prossima volta non usare "-" per fare liste di item, usa il list o la graffa o se preferisci manualmente usa simboli diversi come $\bullet$, $\diamond$, $\circ$..