OliForum Matematico

determinare tutti i valori di $ n $ per cui tutte le soluzioni dell' equazione $ x^3-3x+n=0 $ siano interi.
posto l'esercizio perchè la mia soluzione è molto diversa da quella "ufficiale".
dette $ a,b,c $ le soluzioni riscrivo come $ (x-a)(x-b)(x-c)=0 $ e ottengo il sistema di equazioni:
$ a+b+c=0 $$ $
$ abc=-n $
$ ab+bc+ac=-3 $.ora noto che nessuna delle tre radici può essere $ 0 $ perchè altrimenti le altre due sarebbero irrazionali.moltiplico quindi per $ c $ l'ultima equazione e ho:$ -n+c^2(b+a)=-3c $ e quindi $ c^3-3c=-n $.faccio la stessa cosa con $ a $ e $ b $ e ho adesso:
$ a^3-3a=-n $
$ b^3-3b=-n $
$ c^3-3c=-n $.
sottraendo membro a membro le prime due equazioni ho:$ (a-b)(a^2+b^2+ab-3)=0 $.ora ho due possibilità:o $ a-b=0 $ o lo è il termine in parentesi. se $ a=b $ ho $ c=-2a $ quindi per sostituzione ho $ a^3-3a+8a^3-6a=0 $ cioè $ 9a(a^2-1)=0 $. dato $ a\neq 0 $ ho $ a=\pm 1 $ da cui le soluzioni $ a=1 $ $ b=1 $ $ c=-2 $ ed $ n=2 $ e $ a=-1 $ $ b=-1 $ $ c=2 $ da cui $ n=-2 $. ora ci resta $ a^2+b^2+ab-3=0 $. studiandone il discriminante considerandola un'equazione in $ a $ ho $ \delta=-3b^2+12 $.perchè quella equazione abbia soluzioni debbo avere $ -3b^2+12\geq 0 $ vero nell'intervallo $ [-2;2] $. in questo intervallo i valori interi diversi da $ 0 $ sono solo $ -2,-1,1,2 $. provando $ b=-1,b=1 $ ho anche $ a=-1,a=1 $ ricadendo nel caso di prima mentre notando che l'equazione è simmetrica il caso $ b=-2 $ e $ b=2 $ non si rivela altro che il simmetrico del caso già trattato in precedenza con $ c=-2,2 $. in conclusione ho due valori possibili per $ n $:$ 2 $ e $ -2 $.
può andare anche questa come soluzione o ha un grosso errore di fondo che non vedo??

Hai scritto tutto molto appiccicato, ma mi pare che funzioni!

Sia \(s\) una soluzione dell'equazione. Visto che deve essere intera, deve dividere n, ossia \(n = s \cdot d\). Si ha:
\(s^3 -3s + sd = 0 \rightarrow s(s^2 -3 + d) = 0\)
Se \(s=0\), significa che \(n = s \cdot d = 0\). Sostituendo ho \(x^3 -3x = 0 \rightarrow x(x^2 - 3) = 0 \rightarrow x=0,\pm\sqrt(3)\) --> Impossibile.
Se \(s \neq 0\), ho che \(s = \pm\sqrt{3-d}\). Perchè \(s\) sia intero, \(d=2\), da cui \(n=sd=\pm\sqrt{3-2}\cdot 2 = \pm2\).

ok devo ammettere che l'idea di Gottinger95 è molto meglio della mia che effettivamente non è esteticamente proprio ben espressa (ringrazio quindi Drago per essersi dato la pena di leggere quello obbrobrio visivo XD)

Gottinger95 ha scritto:Sia \(s\) una soluzione dell'equazione. Visto che deve essere intera, deve dividere n, ossia \(n = s \cdot d\). Si ha:
\(s^3 -3s + sd = 0 \rightarrow s(s^2 -3 + d) = 0\)
Se \(s=0\), significa che \(n = s \cdot d = 0\). Sostituendo ho \(x^3 -3x = 0 \rightarrow x(x^2 - 3) = 0 \rightarrow x=0,\pm\sqrt(3)\) --> Impossibile.
Se \(s \neq 0\), ho che \(s = \pm\sqrt{3-d}\). Perchè \(s\) sia intero, \(d=2\), da cui \(n=sd=\pm\sqrt{3-2}\cdot 2 = \pm2\).

Bella, però una cosa mi sfugge (scusatemi, sono fuori dal campo da diversi lustri oramai): come faccio a dire che \(n=\pm2\) sono tutte e le sole che portano ad avere soluzioni intere?

toti96 ha scritto: $ a^3-3a=-n $
$ b^3-3b=-n $
$ c^3-3c=-n $.

Per questo bastava semplicemente dire che a,b,c soddisfano l'equazione.