[tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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_Ipazia_
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[tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da _Ipazia_ » 06 mar 2013, 18:31

Sia x un numero reale maggiore di 1 tale che $ (x − 1)(x + 1)^{2012} = 1 $. Allora:
a) $ 1 < x < 1 + \frac{1}{3^{2012}} $
b) $ 1 + \frac{1}{3^{2012}} < x < 1 + \frac{1}{2^{2012}} $
c) $ 1 + \frac{1}{2^{2012}} < x < 1 + \frac{1}{3} $
d) $ 1 + \frac{1}{3} < x < 1 + \frac{1}{2} $
e) $ x>2 $

E' un problema dei giochi di archimede 2012... ho visto anche la soluzione ma non riesco proprio a capirla :( Qualcuno mi può aiutare?
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simone256
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da simone256 » 07 mar 2013, 17:39

Hahaha! E' l'unico che ho sbagliato quest'anno :evil:

Provo a buttare lì una soluzione...
Notiamo che la funzione è strettamente crescente per $ x>1 $; quindi se verifichiamo che $ f(x_1)<1<f(x_2) $ allora $ x_1<x<x_2 $.
Se provi a fare i calcoli noti che $ f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 < f(1 + \frac{1}{2^{2012}}) $; il che ti indurrà a scegliere l'opzione b) :)
La cosa divertente... E' che io ai giochi l'ho fatto così... Ma la parte
Simone256 ha scritto:fare i calcoli
l' ho "clamorosamente" mandata a farsi......... Ecco ci siam capiti! :roll:
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_Ipazia_
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da _Ipazia_ » 07 mar 2013, 18:11

simone256 ha scritto: Notiamo che la funzione è strettamente crescente per $ x>1 $; quindi se verifichiamo che $ f(x_1)<1<f(x_2) $
Sto scoprendo di avere un enorme buco su queste cose :oops: ... non capisco il crescente e quel "quindi".. non è che mi potresti spiegare o meglio consigliarmi dove andare a vedere per bene tutto quanto?
simone256 ha scritto: Se provi a fare i calcoli noti che $ f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 < f(1 + \frac{1}{2^{2012}}) $; il che ti indurrà a scegliere l'opzione b) :)
Intendi provando a fare i calcoli a partire dalle soluzioni? perchè io ho fatto così e qualcosa mi è venuto ma credo che ci sia un modo migliore..

Grazie per il disturbo comunque :)
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simone256
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da simone256 » 07 mar 2013, 18:34

_Ipazia_ ha scritto: Sto scoprendo di avere un enorme buco su queste cose :oops: ... non capisco il crescente e quel "quindi".. non è che mi potresti spiegare o meglio consigliarmi dove andare a vedere per bene tutto quanto?
No beh guarda io per ora conosco le funzioni come me le hanno insegnate a scuola e sono al tuo stesso anno quindi non è nulla di che... Poi mi sono spiegato male :mrgreen: (e nulla esclude che io abbia sbagliato :oops: )
Allora... Considera la funzione $ f(x)=(x-1)(x+1)^{2012} $.
Se $ x>1 $ noti che il primo fattore cresce al crescere di $ x $ e che il secondo fattore cresce (ed è $ >1 $) quindi la sua duemiladodicesima potenza sarà anchessa crescente al crescere di $ x $.
Quindi se $ x_2>x_1>1 $ sarai d'accordo con me che $ f(x_2)>f(x_1) $.
Chiamiamo $ x_i $ la nostra incognita, allora $ f(x_i)=1 $;
Da qui si arriva a dire quello che ho detto! Cioè che se verifichiamo che $ f(x_1)<1<f(x_2) $ allora $ x_1<x_i<x_2 $.
_Ipazia_ ha scritto:Intendi provando a fare i calcoli a partire dalle soluzioni? perchè io ho fatto così e qualcosa mi è venuto ma credo che ci sia un modo migliore..
Eh si di sicuro... :oops:
Magari qualcuno più bravo di me risponderà a questa domanda :D
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ndp15
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da ndp15 » 07 mar 2013, 18:37

Una funzione si dice crescente se $ x_1 < x_2 $ implica $ f(x_1) < f(x_2) $
Ora, notando che quella funzione è crescente in $ [1,+\infty) $, cioè per tutti gli $ x\ge 1 $ , ottieni che se $ f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 $ e $ f(1 + \frac{1}{2^{2012}})>1 $ allora la soluzione dovrà trovarsi proprio in questo intervallo perché per gli $ x $ tali che $ x<1 + \frac{1}{3^{2012}} $ hai $ f(x)<f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 $ e per gli $ x $ tali che $ x>1 + \frac{1}{2^{2012}} $ hai $ f(x)>f(1 + \frac{1}{2^{2012}})>1 $.
Ora sarebbe istruttivo che qualcuno mostrasse i conti perché sono la parte più difficile dell'esercizio.

_Ipazia_
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da _Ipazia_ » 07 mar 2013, 18:43

Ok grazie mille ho capito quella cosa del crescente :)
simone256 ha scritto: Eh si di sicuro... :oops:
Questo mi tranquillizza, credevo di aver tralasciato qualcosa di importante :roll:
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Tess
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da Tess » 10 mar 2013, 12:09

Nell'attesa che qualcuno faccia i conti, spiego come si poteva risolvere l'esercizio senza accorgersi che $f$ era crescente, ma "solo" manipolando un poco l'espressione.
Prima di tutto uno nota che l'incognita $x_0$ deve essere maggiore di 1, altrimenti $f(x_0)$ è negativa e minore di 2 altrimenti $x_0-1$ e $x_0+1$ sono entrambi maggiori di uno, allora $f(x_0)$ sarebbe maggiore di 1. E queste sono considerazioni molto stupide! :wink:
Ora, con un po' di manipolazione, seguendo l'idea che $(x+1)^{2012}$ cresce molto anche con la più piccola variazione di $x$, si scrive $x-1=(x+1)^{-2012}$, $x=1+(x+1)^{-2012}$. Ora la disuguaglianza $1<x_0<2$ diventa $2<x_0+1<3$, $2^{2012}<(x_0+1)^{2012}<3^{2012}$, $2^{-2012}>(x_0+1)^{-2012}>3^{-2012}$, $1+2^{-2012}>1+(x_0+1)^{-2012}>1+3^{-2012}$, cioè $1+3^{-2012}<x_0<1+2^{-2012}$, cioè quel che volevamo!

_Ipazia_
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Re: [tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

Messaggio da _Ipazia_ » 10 mar 2013, 19:07

Dimostro che $ f(1+\frac{1}{2^{2012}})>1 $:
$ f(1+\frac{1}{2^{2012}})=\frac{1}{2^{2012}}(\frac{1+2^{2013}}{2^{2012}})^{2012} $
Ignorando il +1 al numeratore della seconda frazione, viene:
$ \frac{2^{4050156}}{2^{4050156}}=1 $
Ma, considerando anche quell'1, il numeratore sarebbe venuto maggiore e quindi la frazione maggiore di 1 :)
Per l'altra parte dei calcoli invece mi viene un po' più difficile...
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