$\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

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jordan
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$\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

Messaggio da jordan » 14 gen 2013, 01:10

Trovare tutti i termini della sequenza di reali $a_0,a_1,a_2,\ldots$ tali che $a_0=1$ e $\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$.
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Re: $\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

Messaggio da ant.py » 15 gen 2013, 01:08

scusami non ho capito bene..

se ho n = 2 quella somma vale $ 2a_0a_2 + a_1^2 = 1 $; ovvero $ a_2 = (1-a_1^2)/2 $
non vedo limitazioni su $a_2$ o $ a_1$ quindi in che senso devo trovare tutti i termini della sequenza?
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jordan
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Re: $\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

Messaggio da jordan » 15 gen 2013, 01:15

Mettiamola così: trova una formula "esplicita" per $a_n$.

Ps. Dovrebbe essere chiaro che, se quella sommatoria vale per tutti gli $n$, allora ogni $a_n$ è univocamente definito..
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Re: $\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

Messaggio da ant.py » 16 gen 2013, 11:03

Ok quindi abbiamo questa sequenza di reali e, per ogni n, si ha che

$\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$.

potresti mettere un hint?

sono arrivato a $ a_n + a_1\sigma_{n-1} + a_2\sigma_{n-2} + ... + a_n\sigma_0 = n $

dove $ \sigma_k = \sum_{i=0}^k{a_i} $ ma non mi porta da nessuna parte....
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Re: $\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

Messaggio da Tess » 16 gen 2013, 14:37

Credo che l'unico hint (e anche l'unico modo umano per farlo, non per dimostrare che è giusta la risposta) sia funzioni generatrici, che mi pare inizino ad andare di moda... :wink:

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Re: $\sum_{k=0}^n{a_ka_{n-k}}=1$

Messaggio da jordan » 16 gen 2013, 16:24

Ah volendo potresti anche trovarti i primi termini, tentare di indovinare il risultato giusto, e poi mostrarlo per induzione :roll:
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