galileiano 2013

[fraboz]

Problema 3.
Si considerino le soluzioni reali positive della equazione $ \tan x = x $
e le si rappresentino mediante una successione $ {a_n} $, $ n \in \mathbb N $, ove $ a_n< a_{n+1} $ per ogni $ n \in \mathbb N $. Si dica se il limite $ \lim_{n \rightarrow \inf} (a_{n+1}-a_{n}) $ esiste e in caso affermativo lo si calcoli.

[Gebegb]

Sia $ a_n $ la soluzione di $ \tan x=x $ compresa fra $ - \pi/2 + n \pi $ e $ \pi/2 + n \pi $.
Sia $ b_n $ la soluzione di $ \tan x=x + n\pi $ compresa fra $ - \pi/2 $ e $ \pi/2 $.
Si vede facilmente che $ a_n = b_n + n\pi $ e che $ b_n $ è una successione crescente che tende a $ \pi /2 $.
Pertanto \[ \lim_{n\to \infty}{b_n-b_{n-1}}=0 \implies \lim_{n\to \infty}{a_n-a_{n-1}}=\left(\lim_{n\to \infty}{b_n-b_{n-1}}\right)+\pi=\pi \]