Funzionale... Strana

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scambret
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Funzionale... Strana

Messaggio da scambret » 02 dic 2012, 20:08

Premetto di aver trovato forse la soluzione, ma mi è sembrata strana e allora la vorrei discutere con voi, ma non metto la soluzione perchè può servire da allenamento. Comunque il testo viene da un esercizio di un senior e dice
Sia $f$ una funzione dall'insieme $\mathbb{Q}$ all'insieme$=\{ -1, \ 1 \}$. Inoltre se $x \neq y$ e $(x+y=0 \vee x+y=1 \vee xy=1)$ allora $f(x)f(y)=-1$. Esiste una tale funzione?

Claudio.
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Re: Funzionale... Strana

Messaggio da Claudio. » 02 dic 2012, 20:40

Non basta controllare che non ci siano contraddizioni del tipo $x+y=0 \vee x+y=1 \Rightarrow \exists a,b: f(a)=f(b) \land ab=1$(e anche gli altri 2 casi) e cioè risolvere per simmetria le equazioni $x^2-x-1=0$ e $x^2+x-1=0$ e notare che non hanno soluzioni razionali?

scambret
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Re: Funzionale... Strana

Messaggio da scambret » 02 dic 2012, 22:26

Purtroppo non ho capito granchè di quello che hai detto :(

Claudio.
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Re: Funzionale... Strana

Messaggio da Claudio. » 03 dic 2012, 01:40

da $x+y=0$ ho che $f(x)f(-x)=-1$ mentre da $x+y=1$ ho $f(x)f(1-x)=-1$ allora $f(1-x)=f(-x)$ adesso devo controllare che questo non contraddica l'ipotesi, ossia che non esista una $x$ tale che $-x(1-x)=1$ (da $xy=1$) e mi dà l'equazione $x^2-x-1=0$ che non ha soluzione nei razionali. Adesso non basta fare questo ragionamento per le altre due possibilità per dire che una funzione del genere esiste?

scambret
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Re: Funzionale... Strana

Messaggio da scambret » 03 dic 2012, 06:18

Ah tu dici
Faccio una partizione di $\mathbb{Q}$ in due gruppi $X$ e $Y$ t.c. se $x \in X$ allora wlog $f(x)=1$ e nell altro caso con il meno.. Perciò per le ipotesi $-x$, $1-x$ appartegono allo stesso insieme (diciamo Y) e dici che se sono distinti come valori (ma lo sono) e soddisfano una di quelle tre proprietà allora il prodotto delle tre f nn può fare -1, ma 1, e quindi non esisterebbe una tale $f$. Ti accorgi però che $(-x)(1-x)=1$ non ha soluzioni in $\mathbb{Q}$, perciò assurdi non ne hai trovati, però puoi dire che $-x+(1-x)=0 \vee -x+(1-x)=1$ e in questi due casi hai rispettivamente come soluzioni $x= \frac 1 2$ e $x=0$...

Claudio.
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Re: Funzionale... Strana

Messaggio da Claudio. » 03 dic 2012, 08:42

Che non vanno bene per l'ipotesi $x\ne y$
(notare il numero dei miei messaggi :twisted: )

scambret
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Re: Funzionale... Strana

Messaggio da scambret » 03 dic 2012, 15:07

E no perchè se $\frac 1 2 \in X$ allora $- \frac 1 2$ e $2 \in Y$ che non mi da problemi (e simile per $0$), ma chi mi assicura che $f$ esiste?? ;)

Ps purtroppo mi risponderai e il numero dei tuoi mess aumenterà di uno.. Goditi i 666 messaggi finche puoi :lol: :lol:

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