Propongo una soluzione alternativa, proprio perchè ieri l avevo scritta, non potevo concludere e adesso non mi colla di buttare all aria tutto il lavoro
ma non so se va bene..
Intanto wlog $a\geq b\geq c\geq 0$
$4\sum_{cyc}\frac{a^3-b^3}{a+b} \leq \sum_{cyc} (a-b)^2$
Facciamo un po di conti sapendo che $\sum_{cyc} (a-b)^2 = \frac{2(a^3+b^3+c^3-3abc)}{a+b+c}$ perciò l originale diventa
$\sum_{cyc}\frac{a^3-b^3}{a+b} \leq \frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{2(a+b+c)}$
Fatto il minimo comune multiplo e semplificato ottengo
$2(a+b+c)\sum_{cyc}(a^3-b^3)(b+c)(c+a) \leq \frac{1}{2} (\sum_{sym} a^3-\sum_{sym}abc)(a+b)(b+c)(c+a)$
$4(a+b+c)\sum_{cyc}(a^3-b^3)(b+c)(c+a) \leq (\sum_{sym} a^3-\sum_{sym}abc)(\sum_{sym} a^2b+2abc)$
Il rhs è $\sum_{sym} a^5b+2\sum_{sym}a^4bc-\sum_{sym} a^3b^2c-2\sum_{sym}a^2b^2c^2$ che è maggiore o uguale a 0 per bunching.
Dovrei dimostrare che lhs $\leq 0$
Adesso, fatti tutti i conti che vi evito, calcolo $4(a+b+c)\sum_{cyc} (a^3-b^3)(b+c)(c+a)=4(a+b+c)\sum_{cyc} a^2b^2(b-a)$ e quindi dovrei dimostrare che $(a+b+c)\sum_{cyc}a^2b^2(a-b) \geq 0$ e quindi ottengo $\sum_{cyc} a^4b^2-a^2b^4+a^3b^2c-a^2b^3c \geq 0$. Se $x\geq y\geq z\geq 0$ [grazie a Drago96] posso dire che $\sum_{cyc} x^2(y-z) \geq 0$. Pongo $x=a^2$, $y=b^2$ e $z=c^2$ e ottengo $\sum_{cyc}a^2b^2(a^2-b^2) \geq 0$ quindi devo dimostrare che $\sum_{cyc} a^3b^2c-a^2b^3c \geq 0 \Rightarrow \sum_{cyc} a^2b-ab^2 \geq 0$ che diventa proprio $\sum_{cyc} a^2(b-c)$ che è maggiore di 0.