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Dati $ a, b, c $ reali positivi, provare che: $$4\biggl(\frac{a^3-b^3}{a+b}+\frac{b^3-c^3}{b+c}+\frac{c^3-a^3}{c+a}\biggl)\leq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$$

Riscrivo il LHS come $\displaystyle \sum 4\frac{a-b}{a+b}(a^2+b^2+ab) =\sum 4(a-b)\left( a+b-\frac{ba}{a+b}\right) = \sum (a-b)\left( 4a+4b-4\frac{ba}{a+b}\right) $
Sposto ora il RHS a sinistra della disequazione, raccolgo $a-b$ e ottengo che la tesi equivale a $\displaystyle \sum (a-b)(5b-3a-4\frac{ba}{a+b})\leq 0$. Considero ora i singoli addendi moltiplico entrambi i membri ora per $a+b$ (che tanto so essere una quantità positiva) e ottengo che la tesi equivale a $\displaystyle \sum (a-b)(5b^2-2ab-3a^2) = \sum (a-b)(a-b)(-3a-5b)=\sum -(a-b)^2(3a+5b) \leq 0$ che è evidentemente sempre vera essendo $a$ e $b$ reali positivi e $(a-b)^2$ un quadrato sempre positivo.

Il fatto è che da "moltiplico" in poi lavoro sui singoli addendi e dimostro che ciascuno di essi è sempre negativo, il mio errore è stato non specificarlo

Ok, vai pure

Mist ha scritto:ottengo che la tesi equivale a $\displaystyle \sum (a-b)(5b-3a-4\frac{ba}{a+b})\leq 0$. Moltiplico entrambi i membri ora per $a+b$ (che tanto so essere una quantità positiva) e ottengo che la tesi equivale a $\displaystyle \sum (a-b)(5b^2-2ab-3a^2) = \sum (a-b)(a-b)(-3a-5b)=\sum -(a-b)^2(3a+5b) \leq 0$

Uhm, se ho ben capito quello che stai facendo, non credo che si possa moltiplicare per $a+b$ impunemente dentro una sommatoria ciclica...

Editato, chiedo scusa per la svista, spero che ora sia chiaro... Altrimenti si ottiene un risultato equivalente facendo il minimo comun denominatore per ogni addendo ed il ragionamento è lo stesso !

Quindi vuoi dire che avresti dimostrato la tesi più forte che $4\frac{a^3-b^3}{a+b}\leq (a-b)^2$ per ogni $a$, $b$? Mi suona sospetto...

Difatti è grossolanamente sbagliato essendo equivalente a $a \leq b$. Un $+3a$ è magicamente diventato $-3a$.

Mist ha scritto:Riscrivo il LHS come $\displaystyle \sum 4\frac{a-b}{a+b}(a^2+b^2+ab) =\sum 4(a-b)\left( a+b-\frac{ba}{a+b}\right) = \sum (a-b)\left( 4a+4b-4\frac{ba}{a+b}\right) $
Sposto ora il RHS a sinistra della disequazione, raccolgo $a-b$ e ottengo che la tesi equivale a $\displaystyle \sum (a-b)(5b-3a-4\frac{ba}{a+b})\leq 0$.

L'errore è qui, sarebbe dovuto essere: $$\sum (a-b)(5b+3a-4\frac{ba}{a+b})\leq 0$$
Colpa del correttore! Scusate
La staffetta ormai è andata avanti, ma il problema resta aperto...
PS Enigma mi ha anticipato

Per caso è un fatto vero e noto che
$$ \displaystyle \sum_{cyc} a^2(b-c) \geq 0$$
??

Non può essere vero, come ti puoi accorgere con un argomento di simmetria: se la disuguaglianza funziona per una terna $(x,y,z)$ allora non funziona per $(x,z,y)$...

E imponendo qualche condizione tipo $a \geq b \geq c \geq 0$??

Ci provo:
aggiungo e tolgo ai denominatori il necessario per fare la divisione tra polinomi ottenendo:

$ \displaystyle 4\sum_{\mbox{cyc}}\biggl( (a^2+b^2-ab)-\frac{2b^3}{a+b} \biggl)\leq \sum_{\mbox{cyc}}(a-b)^2 $

che, svolgendo i quadrati all' RHS e separando la parte polinomiale da quella razionale (e dividendo per 2), diventa:

$ \displaystyle 3\sum_{\mbox{cyc}}a^2-\sum_{\mbox{cyc}}ab\leq 4\sum_{\mbox{cyc}}\frac{b^3}{a+b}=4\cdot \mbox{RHS} $

applicando Cauchy-Schwarz abbiamo:

$ \displaystyle \biggl( \sum_{\mbox{cyc}}\frac{b^3}{a+b}\biggl) \biggl(\sum_{\mbox{cyc}}b(a+b)\biggl)\geq ( a^2+b^2+c^2)^2 $

da cui otteniamo che basta dimostrare la seconda di questa catena di disuguaglianze:

$ \displaystyle \mbox4\cdot \mbox{RHS}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum_{\mbox{cyc}}b(a+b)}\geq 3\sum_{\mbox{cyc}}a^2-\sum_{\mbox{cyc}}ab $

questa disuguaglianza è omogenea, quindi poniamo $ a^2+b^2+c^2=1 $ e osserviamo che quindi $ \sum_{\mbox{cyc}}b(a+b)=1+ab+bc+ca $, posto $ ab+bc+ca=\xi $ si ha:

$ \displaystyle \frac{4}{\xi+1}\geq 3-\xi $ ossia $ \displaystyle 4\geq(3-\xi)(1+\xi) $ che diventa $ \displaystyle (\xi-1)^2\geq 0 $, certamente vera. Sto vaneggiando?

machete ha scritto: $ \displaystyle 3\sum_{\mbox{cyc}}a^2-\sum_{\mbox{cyc}}ab\leq 4\sum_{\mbox{cyc}}\frac{b^3}{a+b} $

ora sacrifichiamo un "$ a^2+b^2+c^2 $" che ammazza il temine "$ -(ab+bc+ca) $" ottenendo che è sufficiente dimostrare:

$ \displaystyle \mbox{LHS} \leq \sum_{\mbox{cyc}}a^2\leq2\sum_{\mbox{cyc}}\frac{b^3}{a+b}=2\cdot \mbox{RHS} $

Mi sembra che tu stia sacrificando con il segno sbagliato...

Perbacco hai proprio ragione. Chiedo venia =)

*ho provato a risistemare la soluzione, ora non contiene più l' errore di prima! (tuttavia potrebbe contenerne di nuovi ed insospettati!)

Perfetto machete, è anche una bella soluzione.
Scusami per l'inconveniente, il testimone spetterebbe a te ma nel frattempo è già passato due volte di mano... mea culpa.