66. Abbandono le funzionali

[scambret]

Siano a,b,c numeri reali positivi tali che la sua somma è uguale a 1. Dimostrare che

$$a^2+b^2+c^2+3abc \geq \frac{4}{9}$$

[toti96]

allora ci provo ma non sono sicuro XD riscrivo l'equazione iniziale come$ (a+b+c)^2+3abc\geq 2ab+2ac+2bc+\frac{4}{9} $ ora ottengo $ 1+3abc\geq 2(a+b+c)(ab+ac+bc) $ sviluppiamola e otteniamo $ 1\geq 2a^2b+2a^2c+3abc+2ab^2+2b^2c+2ac^2+2bc^2+\frac{4}{9} $. ora adesso non sono sicuro di quanto le mie considerazioni si facciano lecite: per AM-GM il valore massimo di $ abc $ è $ \frac{1}{27} $ quindi dovrebbe essere $ a=b=c=\frac{1}{3} $ e in questo caso si verifica l'uguaglianza. in tutti gli altri casi poniamo ad esempio $ a>b\ge c $ tanto maggiore sarà $ a $ tanto minori saranno $ b $ e $ c $ .inoltre teniamo conto che $ a^2<a;b^2<b;c^2<c $ quindi dovremmo avere $ RHS $ sempre minore e la disuguaglianza sempre verificata ma questa ultima parte non credo sia giusta o meglio credo si debba dare una giustificazione migliore che però non riesco a trovare XD

[kalu]

Allora...

riscrivo l'equazione iniziale come$ (a+b+c)^2+3abc\geq 2ab+2ac+2bc+\frac{4}{9} $
ora ottengo $ 1+3abc\geq 2(a+b+c)(ab+ab+bc) $
sviluppiamola e otteniamo $ 1\geq 2a^2b+2a^2c+3abc+2ab^2+2b^2c+2ac^2+2bc^2+\frac{4}{9} $.

E fin qui ci siamo, a parte la seconda disuguaglianza dove hai fatto un po' di casini ma poi hai rimediato xD

ora adesso non sono sicuro di quanto le mie considerazioni si facciano lecite: per AM-GM il valore massimo di $ abc $ è $ \frac{1}{27} $ quindi dovrebbe essere $ a=b=c=\frac{1}{3} $ e in questo caso si verifica l'uguaglianza. in tutti gli altri casi poniamo ad esempio $ a>b\ge c $ tanto maggiore sarà $ a $ tanto minori saranno $ b $ e $ c $

Sono d'accordo su AM-GM, e sono parzialmente d'accordo sul fatto che quando $ a $ aumenta, $ b $ e $ c $ diminuiscono (per l'esattezza è $ b+c $ che diminuisce).
Non sono invece d'accordo sul poter porre $ a>b\ge c $, in quanto se $ a, b, c $ non sono tutti uguali potrebbe anche valere $a=b>c$.
Al massimo puoi porre "senza perdità di generalità" (si dice WLOG) $ a \ge b \ge c $.

inoltre teniamo conto che $ a^2>a;b^2>b;c^2>c $

Qui commetti un errore abbastanza grave, e te ne accorgerai da solo rileggendo

Nascondo la mia soluzione

Testo nascosto:

Si vuole dimostrare che: $$9(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+27abc\ge 4(a+b+c)^3$$ (Ho "omogenizzato", cioè reso tutti i termini dello stesso grado) Sviluppando diventa: $$5\sum_{sym}{a^3}+\sum_{sym}{abc}\ge 6\sum_{sym}{a^2b}$$ E qui è finita perchè per bunching $$4\sum_{sym}{a^3}\ge 4\sum_{sym}{a^2b}$$ e per Shur $$\sum_{sym}{a^3}+\sum_{sym}{abc}\ge 2\sum_{sym}{a^2b}$$
Ti consiglio di studiarti bunching e Shur, perchè quando sei a corto di idee e la tua disuguaglianza non è troppo difficile può tornarti utile questo diverso approccio (in generale un po' bruttino ma chissenefrega)

[toti96]

scusa che cretino che sono volevo scrivere minore quelli sono tutti minori di $ 1 $ naturalmente..madò che errore idiota ma proprio di scrittura mo edito subito per la vergogna XD grazie dei consigli comunque..e poi volevo chiederti quindi come dimostrazione ad esempio alle provinciali (dopo aver corretto le relazioni tra $ a,b,c $ naturalmente XD) non andrebbe bene?? è da pochissimo che sto nell'affascinante mondo del problem solving e non so bene quale sia il limite concesso all'intuizione e quello dovuto alla dimostrazione...

[scambret]

Perfetto kalu!!