Due numeri.

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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razorbeard
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Due numeri.

Messaggio da razorbeard » 25 ott 2012, 17:18

Siano $a,b$ due interi positivi.
Sapendo che $a^2<2b^2$ dimostrare che $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{1}{4b^2}< \sqrt{2}$


Non so se era da piazzare qui o in teroia dei numeri :roll: :roll:
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jordan
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Non e' algebra infatti

Messaggio da jordan » 26 ott 2012, 01:19

Pare che tu sia uno degli utenti di questo thread su Matematicamente.it, ci ho preso? Non ho postato la soluzione ieri sera perchè lo spirito degli utenti lì e' quello sbagliato (vedi la risposta di UmbertoM a pag.2), e soprattutto la moderazione di quel sito lascia molto a desiderare. E' un caso che in un forum di matematica, con sezione apposta per giochi matematici, si propone una gara di allenamento e nessuno partecipa? Grazie a Dio qui e' tutt'altra storia e il piu' del merito va a EvaristeG, ma_go, fph, e al alcuni utenti come dario2994..

E' valida una tesi molto piu' forte: per ogni $\alpha$ irrazionale vale: $|\alpha-\frac{a}{b}|\le \frac{1}{\sqrt{5}b^2}$ (vedi qui, pag.3). Con una versione piu' debole, e' un corollario del teorema di Hurwitz: inoltre e' mostrato che la costante $C=\frac{1}{\sqrt{5}}$ e' ottima, nel senso per ogni $C'<C$ esiste un irrazionale $\alpha$ e degli interi $a,b$ tali che $|\alpha-\frac{a}{b}|>C\frac{1}{b^2}$.
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Re: Due numeri.

Messaggio da ma_go » 26 ott 2012, 12:10

apprezzo la sviolinata (e comunque non ci siamo solo noi...).

resta il fatto che non capisco come il risultato che citi sia più forte di quello proposto: in un certo senso, quello che stiamo cercando qui è il risultato "opposto", cioè vogliamo dimostrare che $a/b$ è abbastanza distante da $\sqrt2$, piuttosto che essere abbastanza vicino.
e poi, se non sbaglio, il risultato che citi (liouville? non ricordo come si chiami) vale per infiniti $b$, piuttosto che per ogni $b$.

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razorbeard
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Re: Due numeri.

Messaggio da razorbeard » 26 ott 2012, 12:23

Hai preso in pieno,quel problema viene da lì, anche se io non sono UmbertoM,ero curioso di vedere la soluzione e pensavo che qui sarebbe uscita prima che su matematicamente :P ,in effetti speravo proprio in un intervento di voi esperti :wink:
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FrancescoVeneziano
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Re: Due numeri.

Messaggio da FrancescoVeneziano » 26 ott 2012, 16:02

Come osservato da ma_go, il risultato citato da jordan vale solo per infiniti razionali a/b (dalla dimostrazione segue che vale per almeno un convergente ogni 3 della frazione continua per $ \alpha $.
Anni fa avevo raccolto in questo threadun po' di risultati sulle frazioni continue e sulle proprieta' di buona approssimazione dei convergenti:
viewtopic.php?f=15&t=10172
(preso quasi direttamente da un capitolo dell' Hardy-Wright)

In particolare da uno degli ultimi risultati li' elencati segue che una frazione che violasse la tesi dell'esercizio dovrebbe necessariamente essere un convergente della frazione continua per $ \sqrt{2} $, ma quelli si scrivono esplicitamente in termini di $ 1\pm\sqrt{2} $, e la disuguaglianza si puo' verificare con qualche passaggio algebrico.

A questo punto pero' tanto vale scrivere anche una dimostrazione piu' diretta.
Cominciamo scrivendo la quantita' che ci interessa, e razionalizziamo il numeratore:
$ \sqrt{2}-\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}b-a}{b}=\frac{2b^2-a^2}{b(\sqrt{2}b+a)} $
A questo punto si applica il principio fondamentale che sta alla base di ogni risultato di approssimazione diofantea: un numero intero positivo e' $ \geq 1 $.
Il numeratore di quella frazione e' un intero positivo, e quindi
$ \sqrt{2}-\frac{a}{b}\geq \frac{1}{b(\sqrt{2}b+a)}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}b^2} $
che e' piu' forte della tesi dell'esercizio, e la costante $ 2\sqrt{2} $ non e' migliorabile, come mostrano i convergenti della frazione continua per $ \sqrt{2} $.

Btw, la costante $ \sqrt{5} $ del teorema di Hurwitz citato da jordan si puo' rimpiazzare con $ 2\sqrt{2} $ se si escludono gli irrazionali coniugati a $ \frac{1+\sqrt{5}}{2} $ tramite trasformazioni lineari frazionarie a coefficienti interi $ \frac{ax+b}{cx+d} $ con $ |ad-bc|=1 $.
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Re: Due numeri.

Messaggio da jordan » 26 ott 2012, 16:54

E' stato detto tutto, anche del mio errore, sopra; riguardo il fatto del $2\sqrt{2}$, dove si puo' trovare una dimostrazione?

Edit: niente, dovrebbe stare nello stesso link quotato da me, che e' evidente non ho finito di leggere.. (quindi, una frazione continua che finisce con tutti $1$ e' equilavente alla tua condizione?)
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Re: Due numeri.

Messaggio da FrancescoVeneziano » 26 ott 2012, 18:48

Sì, essere coniugati in quel modo è equivalente ad avere gli sviluppi in frazione continua definitivamente uguali. Sull'Hardy-Wright dovrebbe esserci anche la dimostrazione.
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Re: Due numeri.

Messaggio da jordan » 26 ott 2012, 20:55

Grazie mille Francesco, è sempre un piacere leggere queste cose!

@Ma_go: no, non e' una sviolinata, non sono che uno di solito fa i complimenti; piu' che altro volevo dire che i moderatori di matematicamente.it (almeno quattro) non sanno fare i moderatori.
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